Задача, связанная с многолучевым распространением и состоящая в том, что переданный сигнал поступает в приемник несколькими путями, тем самым создавая помеху в виде эха, поясняется рис. 9.5. Чтобы понять, как применить адаптивное моделирование к задаче многолучевого канала (т. е. к идентификации импульсной характеристики на рис. 9.5), рассмотрим сначала кратко метод широкополосной передачи двоичных сигналов по многолучевому каналу с высоким уровнем шумов .
В широкополосной связи каждый вид информации, будь то нуль или единица, передается в виде последовательности закодированных символов. При этом единица может быть представлена конкретной последовательностью, например длиной 32 бита. Тогда нуль представляется другой последовательностью длиной 32 опта. Приемник находит корреляционные функции последовательностей и, в зависимости от максимумов этих функций, декодирует последовательности в единицы или пули. Кодовые последовательности единицы и нуля являются псевдослучайными и строятся таким образом, чтобы они были ортогональными и каждая имела автокорреляционные функции с максимальным значением при нулевом запаздывании и близким к нулю в остальных случаях.
Рис. 9.5. Типичный дисперсионный канал и его импульсная характеристика
Такими свойствами обладают последовательности максимальной длины, которые широко используются для решения задач связи . Эти последовательности имеют очень широкий спектр даже при регулярном правиле чередования нулей и единиц (отсюда термин «широкополосная связь»). Системы такого вида являются очень эффективными при наличии мощной широкополосной аддитивной помехи.
Однако на широкополосную систему рассматриваемого вида оказывает отрицательное воздействие многолучевость. В результате многолучевого распространения, т. е. параллельного распространения сигнала от передатчика к приемнику по многим лучам, имеющим каждый свое время задержки, в точке приема последовательность символов искажается. В приемнике отклики от различных лучей линейно суммируются, что приводит к искажениям. Совместное использование адаптивных и широкополосных методов позволяет разделять лучи, т. е. по существу исключить влияние многолучевости.
На рис. 9.6 приведена блок-схема широкополосной системы связи, функционирующей в простом недисперснонном канале без многолучевости. Здесь предполагается наличие шума в канале В соответствии с передаваемой информацией в передатчике подключается псевдослучайная последовательность единицы или нуля и формируется информационный сигнал. Последовательности как единицы, так и нуля формируются одновременно, синхронизируются устройством синхронизации и повторяются в соответствии с информационной последовательностью.
Рис. 9.6. Структурная схема приемника и передатчика системы
До окончания передачи всей последовательности нуля или единицы ключ должен находиться в одном и том же состоянии. Затем в зависимости от следующего передаваемого бита информации ключ можно оставить в прежнем состоянии или перевести в противоположное. Информационный сигнал в виде чередующихся последовательностей единицы и нуля передается по каналу.
С учетом задержки на приемник поступает этот же сигнал, смешанный с аддитивным шумом канала. Устройство синхронизации приемника формирует временные отсчеты с точно такой же скоростью, как и устройство синхронизации передатчика, однако их импульсы сдвинуты по фазе друг относительно друга из-за задержки в канале. В приемнике вычисляются взаимокорреляционные функции последовательностей нуля и единицы с принятой зашумленной последовательностью и при правильной синхронизации на выходе одного из корреляторов формируется максимальное значение автокорреляционной функции. Поскольку в общем случае задержка в канале неизвестна, фазу устройства синхронизации приемника можно постепенно изменять, добиваясь максимального отклика на выходе коррелятора. Информационная последовательность на выходе системы формируется в решающем устройстве, которое периодически принимает решение, на выходе какого коррелятора имеется наибольший отклик. Если наибольший отклик появляется на выходе коррелятора единицы, то выходным сигналом системы является единица и т. д.
При правильной синхронизации в канале без шумов максимальный отклик формируется только на выходе одного из корреляторов, а выходной сигнал другого коррелятора имеет очень низкий уровень. Однако наличие шума на выходах обоих корреляторов приводит к необходимости принятия решения на основе выбора наибольшего отклика. При разработке такой системы обычно используют априорные сведения об отношении сигнал-шум в канале. Чем ниже отношение сигнал-шум, тем более длинные кодовые последовательности нуля и единицы необходимо формировать. Влияние шума канала уменьшается из-за его усреднения при вычислении корреляционных функций.
Такая широкополосная система обладает устойчивостью по отношению к шуму, преднамеренной помехе и другим видам помех. Кроме того, эта система обеспечивает скрытность связи, так как кодовые последовательности нуля и единицы могут быть известны только получателю информации.
Рассмотрим теперь случай, когда канал не только обладает шумом, но и является многолучевым. Предположим, например, что импульсная характеристика канала представляет собой задержанный, как показано на рис. 9.5, импульсный отклик, распределенный в конечном временном интервале. Положим, что длительность последовательности нуля или единицы сравнима с временным интервалом многолучевости.
Тогда после свертки переданного сигнала и импульсной характеристики канала в приемнике возникает сильная помеха в символах кодовой последовательности и между ними. Это явление называют межсимвольной интерференцией. Решить эту задачу можно методами адаптивной фильтрации с помощью моделирования параметров многолучевого канала.
На рис. 9.7 показана схема моделирования неизвестного канала, предназначенная для получения наибольшего приближения к его импульсной характеристике. В этом случае не передаются нули и единицы, а вместо этого в канал циклически передается одна известная псевдослучайная последовательность. На приемной стороне осуществляется наблюдение сигнала на выходе канала. Выходной сигнал адаптивного фильтра сравнивается с сигналом на выходе канала, который в данном случае является полезным откликом. Адаптация фильтра производится по критерию минимума, СКО, которая представляет собой разность между сигналами на выходах канала и адаптивной модели. Циклическое повторение псевдослучайной последовательности исключает проблему синхронизации, связанную с неизвестной большой задержкой канала. Однако для моделирования многолучевого канала адаптивным фильтром необходимо, чтобы устройства синхронизации передатчика и приемника работали с одной и той же скоростью. Длительность псевдослучайной последовательности должна быть больше временного интервала многолучевости (длительности импульсной характеристики канала за исключением времени задержки). Постоянная времени адаптивного фильтра должна быть, по крайней мере, не меньше временного интервала многолучевости. Заметим, что для системы на рис. 9.7 шум канала не влияет на оптимальные весовые коэффициенты модели канала. Для определения эффективности адаптивной модели, подстройки устройства синхронизации приемника и т. д. в схеме на рис. 9.7 используется коррелятор.
На рис. 9.8 приведена схема цифровой системы связи с заданными неадаптивными моделями канала.
Рис. 9.7. Адаптивное моделирование многолучевего канала
Рис. 9.8. Цифровая система связи с заданными неадаптивными моделями каналов
Здесь для облегчения понимания принято нереальное предположение, что в приемнике имеется точная модель канала. Как и в системе на рис. 9.6, обе псевдослучайные последовательности, соответствующие нулю и единице, выбраны одинаковыми как для передатчика, так и для приемника. В передатчике информационная последовательность также кодируется с помощью ключа, который выбирает соответствующую кодовую последовательность. В приемнике на входы идентичных устройств, моделирующих канал, поступают последовательности нуля и единицы. В процессе приема сигналов вычисляется взаимокорреляционная функция выходных сигналов, моделирующих канал, и принятых сигналов. Решающее устройство осуществляет выбор нуля или единицы по выходным сигналам корреляторов в моменты времени, определяемые скоростью передачи информации. Оба устройства синхронизации приемника синхронизированы между собой, а их фазы подстраиваются так, чтобы достигался максимум выходного отклика корреляторов.
В практических системах необходимо некоторым способом моделировать канал в приемнике. Способ, представленный на рис. 9.7, является работоспособным, за исключением того, что фактически невозможна передача информации, поскольку постоянно передается и повторяется только одна псевдослучайная последовательность. Более исчерпывающий подход к моделированию канала в процессе передачи информации реализован в схеме на рис. 9.9. Передаваемый сигнал формируется аналогичным образом.
Формируемые в приемнике синхронизированные кодовые последовательности нуля и единицы суммируются и подаются на вход адаптивного фильтра, выходной сигнал которого сравнивается с сигналом на выходе многолучевого канала. Адаптация фильтра осуществляется по критерию наилучшего среднеквадратического приближения к сигналу на выходе канала.
Поскольку входной сигнал адаптивного фильтра состоит из суммы обеих кодовых последовательностей, принимаемый сигнал является коррелированным с той или другой последовательностью в зависимости от того, что принимается в данный момент - нуль или единица. В схеме на рис. 9.9 адаптивный фильтр имеет тот же оптимальный вектор весовых коэффициентов, что и в схеме на рис. 9.7, за исключением масштабного множителя. Этот вектор равен (см. равенство (2.17) и т. д.). Сравнение обеих схем показывает, что матрицы R для них одинаковы, векторы Р отличаются множителем 2.
Пусть псевдослучайная последовательность в схеме на рис. 9.7 такая же, как последовательность единицы в схеме на рис. 9.9. Эта постоянно повторяемая последовательность имеет матрицу R. Компоненты вектора Р для системы на рис. 9.7 равны значениям взаимокорреляционной функции между повторяемой псевдослучайной последовательностью и сигналом на выходе многолучевого канала.
Рис. 9.9. Адаптивное моделирование каналов одновременно с передачей информации
Для схемы на рис. 9.9, несмотря на переключение последовательностей в передатчике, вектор Р тот же, поскольку сигнал на выходе канала коррелирован с входным сигналом адаптивного фильтра при передаче как последовательности единицы, так и последовательности нуля. (Напомним, что эти последовательности построены так, чтобы они, по существу, были некоррелированными.) С другой стороны, матрица R адаптивного фильтра схемы на рис. 9.9 отличается множителем 2 от матрицы для схемы на рис. 9.7, поскольку для схемы на рис. 9.9 матрица R равна сумме матриц одной повторяемой последовательности единицы и одной повторяемой последовательности нуля. (Напомним, что обе последовательности сформированы так, что они обладают одинаковыми автокорреляционными свойствами.)
Рис. 9.10. Адаптивная широкополосная система связи для многолучевого канала. Псевдослучайные последовательности 1 и 0 известны как на передающей, так и на приемной сторонах, и их можно использовать в качестве шифра. Передатчик и приемник синхронизированы
В результате этого оптимальный вектор весовых коэффициентов в схеме на рис. 9.9 равен половине вектора в схеме на рис. 9.7.
Поскольку в схемах, аналогичных приведенной на рис. 9.8 (в которой окончательное решение принимается решающим устройством), масштабный множитель в модели канала не играет роли, эффективность схем на рис. 9.9 и 9.7 одинакова, но схема на рис. 9.9 позволяет фактически передавать информацию. Эту схему адаптации в процессе передачи информации изобрел М. Дж. Болл.
Еще раз следует отметить, что шум в канале не влияет на вид процесса адаптации и вносит нулевую составляющую в адаптивные весовые коэффициенты. Поэтому для канала с высоким уровнем шума процесс адаптации должен быть медленным. При этом он эффективен, если канал является стационарным или нестационарным с медленноменяющимися параметрами. При быстром изменении характеристик многолучевого канала и высоком уровне шума в канале данная схема неработоспособна. На рис. 9.10 приведена система передачи информации с адаптивным моделированием канала по методу Болла. Здесь корреляторы представлены в виде последовательно включенных перемножителей и интеграторов.
Поскольку импульсная характеристика адаптивного фильтра в этой схеме строится таким образом, что его выходной сигнал имеет наилучшее приближение к сигналу на выходе канала, подстройки фазы устройства синхронизации приемника не требуется, а отклики на выходе корреляторов автоматически принимают свое максимальное значение. Испытания системы, представленной на рис. 9.10, в акустическом канале связи показали, что она работоспособна в многолучевом канале с медленноменяющимися параметрами при наличии шума.
УДК 621.391.8
А. Г. БОГАЧЕВ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЛИНЕЙНОГО КАНАЛА СВЯЗИ С ПАМЯТЬЮ НА ОСНОВЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ И ВЕРОЯТНОСТНОЙ СМЕСИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СИГНАЛОВ
MATHEMATICAL MODEL OF LINEAR COMMUNICATION CHANNEL WITH MEMORY BASED ON CHARACTERISTIC FUNCTIONS AND PROBABILISTIC MIXTURE DISTRIBUTION OF SIGNALS
В статье описан подход к построению модели линейного канала связи с памятью на основе характеристических функций и вероятностной смеси распределений сигналов
Ключевые слова: канал связи, идентификация канала связи
The article describes an approach to the construction of a model of linear communication channel with memory based on characteristic functions and probabilistic mixture distribution of signals
Keywords : channel , channel identification
В работах большинства авторов мгновенные характеристики канала связи и ожидаемые на приеме сигналы полагаются известными точно. Однако в действительности имеется некоторая ошибка характеристик канала, которая непосредственно влияет на опорные сигналы в приемнике, что приводит к существенному снижению качества демодуляции. В работах ряда авторов приводятся оценки, которые показывают, что при увеличении среднего квадрата погрешности оценивания параметров канала на 1-2 дБ вероятность ошибки когерентной демодуляции увеличивается примерно на порядок . В последние 10-15 лет активно развивается научное направление, связанное с оценкой характеристик каналов связи без передачи тестовой последовательности. В современных системах радиосвязи время, затрачиваемое на тестирование канала связи достигает 18 % (для стандарта GSM), что делает привлекательным использование этого временного ресурса для модернизации систем радиосвязи . Для систем коротковолновой связи доля тестовой последовательности может достигать 50% от общего времени передачи по радиоканалу .
Различают два основных типа задач слепой обработки сигналов: слепая идентификация канала (оценка неизвестной импульсной характеристики или передаточной функции), слепое выравнивание (или коррекция) канала (непосредственная оценка информационного сигнала) . В обоих случаях для обработки доступны только реализации входного сигнала приемного устройства. Первая задача является наиболее общей, так как может иметь различные практические приложения, отличающиеся от приложений, связанных с передачей информационных сигналов (например: радиолокационные системы контроля космического пространства; компенсация искажений в системах формирования и обработки изображений, в том числе в медицинской технике). Отметим, что вторая задача слепой обработки сигналов может быть решена на основе решения первой. В связи с указанными обстоятельствами остановимся на задаче слепой оценки импульсной характеристики.
Задачи слепой обработки предполагают широкий класс моделей для описания наблюдаемых сигналов. В наиболее общем случае непрерывная модель описывается как система системами с множественным входом и множественным выходом (в англоязычной литературе Multiple-Input Multiple-Output или MIMO) . Новизна и сложность предлагаемой модели не позволяет использовать MIMO-систему как объект исследования, поэтому ограничимся рассмотрением частного случая с одним входом и одним выходом. Это соответствует случаю стационарного скалярного канала, который может быть описан соотношением вход-выход :
где https://pandia.ru/text/79/208/images/image003_3.png" width="31" height="23 src="> – неизвестная импульсная характеристики канала связи;
https://pandia.ru/text/79/208/images/image005_2.png" width="12" height="13">-ого входного сигнала () на -ом временном интервале ;
https://pandia.ru/text/79/208/images/image010_0.png" width="15" height="17 src="> –тактовый интервал.
Под идентифицируемостью системы вслепую понимается возможность восстановления импульсной характеристики системы с точностью до комплексного множителя только по выходным сигналам.
В работах приведены ключевые теоремы, на основе которых сформулированы необходимые и достаточные условия слепой идентифицируемости. Сущность этих условий сводится к выполнению следующих требований:
– все каналы в системе должны отличаться друг от друга, например они не могут быть идентичны;
– входная последовательность должна быть достаточно сложна. Она не может быть нулевой, константой или одиночной синусоидой;
– в наличии должно быть достаточно отсчётов выхода.
Условия слепой идентифициуемости определяют класс моделей, используемых в рассматриваемой задаче. Общими свойствами для такого класса моделей являются:
1) образование векторного канала:
1а) с помощью многоканальной модели (один вход-много выходов или SIMO в англ.), что соответствует методам разнесенного приема в пространстве ;
1б) путем высокоскоростной обработки (multirate) сигналов на приеме, что соответствует индуцированию векторного канала избыточной дискретизацией ;
2) наличие случайного воздействия на входе модели с заданными статистическими характеристиками, которое образует информационную последовательность.
Класс моделей для рассматриваемой ситуации должен быть выбран так, чтобы основным их свойством модели была явная зависимость выхода от импульсной характеристики канала. При этом конкретная реализация информационной последовательности, которая подается на вход системы, естественно является несущественной. Поэтому при моделировании можно применить усреднение по всем возможным информационным последовательностям с помощью вероятности их появления. Тогда модель можно определить как систему, задающую реакцию канала в данный момент времени на тактовом интервале в зависимости от импульсной характеристики при усреднении по входным последовательностям. Здесь под усреднением понимается восстановление плотности вероятности реакции канала по заданному количеству начальных моментов (модель усреднения реакции канала по последовательностям передаваемых символов). Такая модель представлена в . Здесь рассматривается вариант, при котором на тактовом интервале берется один отсчёт выходного сигнала ():
где https://pandia.ru/text/79/208/images/image014_1.png" width="139" height="29">;
https://pandia.ru/text/79/208/images/image016_1.png" width="15" height="17 src="> – длительность импульсной характеристики канала;
https://pandia.ru/text/79/208/images/image018_1.png" width="117" height="29 src=">– вектор данных;
https://pandia.ru/text/79/208/images/image020_1.png" width="51" height="28 src=">.png" width="96" height="28">;
– размер символьного созвездия (позиционность модуляции).
Анализ модели (2) показывает, что функция правдоподобия для импульсной характеристики является многомодальной, что существенно затрудняет нахождение эффективной оценки. Поэтому на практике такую многомодальную плотность вероятности аппроксимируют с помощью моментов первого и второго порядка некоторым гауссовским распределением. Это значительно снижает вычислительную сложность получения оценки, но и одновременно снижает её точность.
При значительной глубине межсимвольной интерференции (что соответствует достаточно протяженной импульсной характеристике) даже при незначительном объеме алфавита передаваемых символов число возможных входных последовательностей символов растет экспоненциально https://pandia.ru/text/79/208/images/image025_0.png" width="13" height="17"> вероятностей.
Существенным упрощением описания последовательностей входных символов в формуле (2) можно достигнуть с помощью использования аппарата однородных цепей Маркова :
, (3)
где https://pandia.ru/text/79/208/images/image028_0.png" width="13" height="15">-мерная вероятность;
https://pandia.ru/text/79/208/images/image030_0.png" width="83" height="29 src=">.png" width="16" height="17">.
Математическую модель сформулируем в виде функции правдоподобия наблюдаемой реакции канала связи на последовательность состояний цепи Маркова и их преобразования в модуляторе при заданной импульсной характеристике. Важным является то, что в случае идентификации импульсной характеристики канала связи по тестовой последовательности можно использовать математический аппарат нестационарных однородных цепей Маркова . В этих условиях изменения математической модели будут несущественными.
Зададим математическую модель путем композиции операторов, описывающих преобразования сигнала и формирование наблюдений.
1) Реакцию на выходе стационарной линейной системы (линейного канала связи) найдем, используя принцип дуальности сигнал-система.
Преобразование в модуляторе представим в виде:
где https://pandia.ru/text/79/208/images/image035.png" height="17 src=">.png" width="106" height="23 src="> – размерность наблюдаемого сигнала на длине отрезка МСИ (число отсчетов сигнала на интервале МСИ);
https://pandia.ru/text/79/208/images/image039_0.png" width="16" height="19 src=">- глубина МСИ, измеряемая в тактовых интервалах.
Преобразование в линейной части канала связи определим как:
где https://pandia.ru/text/79/208/images/image042.png" width="14" height="26 src="> – вектор импульсной характеристики канала связи на тактовых интервалах с https://pandia.ru/text/79/208/images/image044_0.png" width="14" height="25 src="> – ), дискретизация эквидистантная.
Преобразуем вектор в матрицу реакций 
.
2) Оператор формирования наблюдений на тактовом интервале зададим с помощью матрицы назначений :
где https://pandia.ru/text/79/208/images/image047_0.png" width="36" height="24 src="> – матрица назначений для выделения значащих отсчетов;
https://pandia.ru/text/79/208/images/image051_0.png" width="250 height=112" height="112">.
В строках матрицы назначений все элементы равны нулю кроме одного равного единице..png" width="62" height="23 src=">-ом столбце,…, в -ой строке единица в -ом столбце.
3) Для образования рандомизированной смеси сигналов на выходе канала связи применим аппарат характеристических функций , который позволяет представить плотность вероятности суммы независимых случайных величин через произведение их характеристических функций, а саму смесь через сумму плотностей вероятностей. Такой подход позволяет найти аналитическое задание функции правдоподобия на основе многошаговых вероятностей переходов (3).
В теории обобщенных функций считается, что преобразование Фурье от дельта-функции (импульсная функция, функция Дирака) равно :
где https://pandia.ru/text/79/208/images/image057.png" width="16" height="24 src="> – значение случайной величины (значение отсчета сигнала на выходе канала связи).
Тогда описание реакции на выходе канала связи от https://pandia.ru/text/79/208/images/image050.png" width="14" height="18 src=">-ого отсчета -ого тактового интервала
где https://pandia.ru/text/79/208/images/image061.png" height="19 src=">.png" width="42" height="33 src=">.png" width="14" height="20">.png" width="49" height="26 src=">, .
4) Свяжем матрицу переходных вероятностей с характеристической функцией состояния марковской цепи (элементом информационной последовательности). Тогда на множестве состояний характеристических функций определим одношаговую матрицу переходных вероятностей:
,
где https://pandia.ru/text/79/208/images/image036_0.png" width="16" height="16 src="> состояний;
https://pandia.ru/text/79/208/images/image070.png" width="13 height=19" height="19">ого тактового интервала;
https://pandia.ru/text/79/208/images/image072.png" width="112" height="56">.
6) Результирующая рандомизированная смесь может быть сформирована как сумма характеристических функций финальных вероятностей состояний:
,
https://pandia.ru/text/79/208/images/image075.png" width="36" height="16 src=">;
https://pandia.ru/text/79/208/images/image075.png" width="36 height=16" height="16">.
7) Дополним математическую модель аддитивным белым гауссовским шумом наблюдений. – характеристическая функция нормального закона с нулевым математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением –
.
Следовательно, искомая функция правдоподобия наблюдения https://pandia.ru/text/79/208/images/image042.png" width="14" height="26 src="> находится обратным преобразованием Фурье:
.
Образуем совокупность наблюдений в виде числа временных каналов , что соответствует количеству анализируемых тактовых интервалов, и выделенных -ых отсчетов на каждом тактовом интервале
где -https://pandia.ru/text/79/208/images/image053.png" width="45" height="23">,
https://pandia.ru/text/79/208/images/image085.png" width="311" height="53">, (4)
где https://pandia.ru/text/79/208/images/image087.png" width="73 height=48" height="48">.png" width="41" height="19">, низкочастотной импульсной характеристикой длительностью 24 отсчета по 8 отсчетов на каждом тактовом интервале.
Результатами моделирования в виде гистограмм частот (https://pandia.ru/text/79/208/images/image091.png" width="13" height="15 src=">) реакций канала для выделенных отсчетов на тактовом интервале (рисунки 1 и 2). Использовалась выборка содержащая 3000 тактовых интервалов.
Рисунок 1 – Гистограмма частот попадания случайной величины в диапазон значений реакций канала для третьего отсчета на тактовом интервале
Рисунок 2 – Гистограмма частот попадания случайной величины в диапазон значений реакций канала для восьмого отсчета на тактовом интервале
Далее была построена функция правдоподобия на основе предлагаемой математической модели (1-4)..png" width="13" height="15 src=">) для выделенных отсчетов на тактовом интервале представлены на рисунках 3 и 4.
Рисунок 3 – Плотность вероятности случайной величины реакции канала для третьего отсчета на тактовом интервале
Рисунок 4 – Плотность вероятности случайной величины реакции канала для восьмого отсчета на тактовом интервале
Результатами моделирования являются гистограммы частот попадания случайной величины реакции канала для выделенных отсчетов на тактовом интервале. Использовалась выборка содержащая 3000 тактовых интервалов. Далее была построена функция правдоподобия на основе предлагаемой математической модели (1-4). Было обнаружено, что с ростом объема статистической выборки по числу тактовых интервалов гистограмма (рис. 1, 2) становится все более подобной сформированной математической модели (рис. 3, 4).
1. Прямое описание модели необходимо для разработки имитационной модели канала.
2. Разработанная модель канала с межсимвольной интерференцией задается в виде косвенного описания, которое в дальнейшем может быть использовано для поиска эффективной оценки импульсной характеристики по максимуму правдоподобия.
3. Математическая и статистическая модели имеют явно выраженную многомодальную структуру, число мод которой зависит от памяти канала. Однако на некоторых отсчётах на выделенном тактовом интервале отдельные экстремумы становятся визуально неразличимы. Это может происходить вследствие: низкого отношения сигнал/шум, большого числа точек в сигнальном созвездии, большой глубины межсимвольной интерференции, большого числа отсчетов на длительности тактового интервала.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Чингаева анализ методов оценивания импульсной характеристики как функции двух переменных в каналах с рассеянием во времени и по частоте // Успехи современной радиоэлектроники. – 2008. – №12. – С. 60-67.
2. Карташевский пространственно-временных сигналов в каналах с памятью. – М.: Радио и связь, 2000. – 272 с.
3. Горячкин слепой обработки сигналов и их приложения в системах радиотехники и связи. – М.: Радио и связь, 2003. – 230 с.
4. Tong L., Perreau S. Multichannel Blind Identification: From Subspace to Maximum Likelihood Methods // Proceedings of the IEEE. – October 1998. Vol. 86. №. 10. – pp. .
5. Otnes R., Tuchler М. Block SISO linear equalizers for turbo equalization in serial-tone HF modems // Proc. Norwegian Signal Processing Symp., NORSIG-2001, NORSIG, Trondheim, Norway, pp. 93–98.
6. NATO STANAG 4285: Characteristics of 1200/2400/3600 bits per second single tone modulators/demodulators for HF radio links. Feb. 1989.
7. , Щелкунов помехоустойчивости систем передачи дискретных сообщений: Справочник / Под ред. . – М.: Радио и связь, 1981. – 232 с.
8. Xu G., Liu H., Tong L., Kailath T. A least-squares approach to blind channel identification // IEEE Trans. Signal Processing. – 1995. – Vol. SP-43, №12. – P. .
9. Hua Y., Vax M. Strict identifiability of multiple FIR channels driven by an unknown arbitrary sequence // IEEE Trans. Signal Processing. – 1996. – Vol. SP-44, №3. – P. 756-759.
10. Пространственно-временная обработка сигналов / , и др.; Под ред. . – М.: Радио и связь, 1984. – 224 с.
11. Монзинго, антенные решетки: Введение в теорию / , . – М.: Радио и связь, 1986. – 448 с.
12. Прокис Дж. Цифровая связь. Пер с англ. / под ред. . – М.: Радио и связь, 2000. – 800 с.
13. , Миронов M. А. Марковские процессы. М.: Советское радио, 1977. – 488 с.
14. , Сизых процессы. Примеры и задачи. Т. 1. Случайные величины и процессы: Учеб. пособие для вузов. Под ред. . – М.: Радио и связь, 2003. – 400 с.
Академия ФСО России, г. Орёл
Научный сотрудник
Горячкин О.В.
В статье рассматривается актуальная проблема слепой идентификации канала связи. Для решения задачи
используются полиномиальные представления кумулянтов случайных последовательностей конечной длины.
Данный подход позволяет использовать для построения алгоритмов слепой идентификации методы алгебраической геометрии и коммутативной алгебры. Описывается ряд алгоритмов слепой идентификации, использующих свойства многообразий заданного значения корреляции. Приводятся результаты моделирования и сравнительного анализа эффективности предложенных алгоритмов. Показано, что алгоритм, основанный на использование преобразования ненулевой корреляции, обеспечивает лучшие характеристики помехоустойчивости, чем известный алгоритм спектральной факторизации.
BLI D IDE TIFICATIO OF TELECOMMU ICATIO CHA ELS WITH USE AFFI E
VARIETIES OF POLY OMIAL CUMULA TS
Oleg V. Goriachkin In the paper a blind identification problem of telecommunication channels are discussed. For solution of the blind identification problem the equations connecting with polynomial moments are used. In the case we can use the powerful methods of commutative algebra. In the paper some blind identification algorithms based on the analysis of independence affine varieties of polynomial cumulants are proposed.1. Введение В последние годы наблюдается большой интерес к так называемой “слепой проблеме” . В общем виде задачу слепой обработки можно сформулировать как цифровую обработку неизвестных сигналов прошедших линейный канал или среду с неизвестными характеристиками на фоне аддитивных шумов. Слепая идентификация является противоположностью задачам классической идентификации систем, где используются как наблюдаемый сигнал, так и считаются заданными входные сигналы. Повышение исследовательской активности в “слепой проблеме” вызвано, по всей видимости, потенциальным применением в системах подвижной радиосвязи, которые интенсивно развиваются в настоящее время. В этих системах, искажения вызванные интерференцией в результате многолучевого распространения, влияют как на качество передачи, так и на их пропускную способность. Обычно, приемники подобных систем для компенсации искажений требуют или знания параметров канала или передачи некоторого испытательного сигнала .
Для каналов с переменными параметрами, потери эффективности может достигать значительной величины. Например, в системах сотовой связи, время, используемое для передачи испытательного сигнала, может занимать до 30% времени всей передачи. Еще один пример, это компьютерные сети, где связь между терминалами и центральным компьютером устанавливается в асинхронном режиме так, что в некоторых случаях, обучение приемника невозможно. Вне области связи слепое оценивание канала применятся в различных областях:
компенсация искажений вызванных эффектами распространения в радиолокационных и радионавигационных системах, коррекция линейных искажений в системах формирования изображений, обработка сейсмосигналов в геофизике, компенсация искажений в системах распознавания речи.
Важный вопрос при решении задач слепой идентификации – идентифицируемость системы. Под идентифицируемостью системы вслепую понимается возможность восстановления передаточной функции и/или импульсной характеристики (ИХ) системы с точностью до комплексного множителя только по выходным сигналам. Для каналов с одним входом и одним выходом условия идентифицируемости формулируются в контексте статистической идентификации. Статистическая идентификация предполагает наличие некоторого множества реализаций выходного сигнала, при формировании которых ИХ канала постоянна. При этом система идентифицируема, если на входе имеется нестационарный или негауссовский случайный процесс.
Впервые алгоритм прямого слепого выравнивания канала связи, использующий негауссовость информационных сигналов в цифровых системах с амплитудной модуляцией, был предложен, по-видимому, Сато в 1975г. . Алгоритм Сато был впоследствии обобщен Годардом в 1980г. для случая комбинированной амплитудно-фазовой модуляции (известен также как «алгоритм постоянных модулей»). К настоящему времени известно большое количество алгоритмов слепой идентификации и коррекции каналов связи, использующие различные критерии адаптации линейных эквалайзеров, объединяемые в литературе в класс стохастических градиентных алгоритмов или алгоритмов Базганга. Базовые ограничения этих алгоритмов это относительно медленная сходимость, требование достоверных начальных условий, большая вычислительная сложность, вследствие наличия процедуры нелинейной оптимизации коэффициентов эквалайзера, низкая помехоустойчивость.
Другой класс алгоритмов слепой идентификации, разработанный относительно недавно, это алгоритмы, использующие правило максимального правдоподобия. Эти алгоритмы обеспечивают асимптотическую эффективность и состоятельность получаемых оценок, обладают более высокой помехоустойчивостью, однако вычислительная сложность и локальные максимумы их две основные проблемы .
Весьма соблазнительным для разработки слепых оценщиков является метод моментов, суть которого, в замене уравнений, связывающих сигналы на входе и выходе системы, уравнениями, связывающими соответствующие моментные функции. Оценки, полученные в рамках метода моментов, не являются наилучшими среди всех оценок в смысле их асимптотической эффективности , однако данный подход, как правило, позволяет получить оценку канала в явном виде, минуя процедуру нелинейной оптимизации. Важным достоинством этих методов в контексте «слепой проблемы» является отсутствие требований к априорному знанию распределений вероятностей информационных сигналов и помех. Хорошо известно, что ковариационные функции стационарного процесса на выходе линейной системы не содержат информации о фазе её передаточной функции, и идентификация возможна только для узкого класса систем с минимальной фазой. Исторически это обусловило интерес, прежде всего к статистикам высокого порядка и соответственно к негауссовским моделям входных сигналов . Использование статистик 2-го порядка для слепой идентификации канала, возможно, для нестационарной модели входного или выходного сигналов и в частном случае периодически-коррелированного (циклостационарного) сигнала. Возможность такой идентификации для телекоммуникационных каналов в общем случае для нестационарного входа показано в . Как правило, для построения оценок в рамках метода моментов используются кумулянтные спектры (или «полиспектры»), поскольку в этом случае уравнения для неизвестного канала можно записать в простой алгебраической форме. В данной работе развивается новый подход к синтезу алгоритмов статистической слепой идентификации, основанный на полиномиальном представлении моментов случайных последовательностей .
Для систем с пассивной паузой модель канала связи может быть описана линейной комбинацией полиномов положительной степени Рассмотрим случайные полиномы как комплексные случайные поля, определенные на комплексной плоскости. В этом случае можно определить моментные и кумулянтные функции этих случайных полей, которые будут полиномами от многих переменных . Пусть x C n - комплексный случайный вектор, описываемый плотностью вероятности f x (x1,..., xn), определенной в k=k1+k2+…+kR, m=m1+m2+…+mR случайного вектора x полином R переменных следующим образом:
Очевидно, что набор определенных таким образом полиномиальных моментов (2), с учетом известной проблемы моментов, полностью определяет функцию плотности вероятности и характеристическую функцию комплексного случайного вектора, образованного R значениями случайного полинома x(z) C в точках {z1,..., z R }.
Полиномиальные моменты не коммутируют сумму независимых случайных полиномов, поэтому часто более удобно использовать обобщенные корреляции или кумулянты значений случайных полиномов. Полиномиальные кумулянты случайного полинома будем обозначать буквой «К». Уравнение, связывающее полиномиальные кумулянты на входе и выходе идентифицируемой системы с пассивной паузой (3) можно записать в следующем виде 2. Идентификация ИХ канала по многообразиям заданной корреляции.
В данной статье рассматриваются подходы к решению задачи слепой идентификации систем с пассивной паузой. Заметим, что в отличие от систем с испытательным импульсом на пассивную паузу тратиться в 2 раза меньшее время.
Пусть x R n - случайный вектор, описываемый плотностью вероятности f x (x1,..., xn) в R n. Пусть x(z) кольцу C - случайный полином степени n 1, заданный случайным вектором x R n. Пусть x(z1) и x(z 2) два различных значения случайного полинома x(z).
Определим все возможные значения z1 z 2 для которых x(z1) и x(z 2) имеют заданное значение корреляционной функции, решив систему полиномиальное уравнение вида Заданное таким образом для каждого t аффинное многообразие V2x,0 (t) в C 2 будем называть многообразием заданной (ненулевой) корреляции случайного полинома x(z), а в случае t = 0 декоррелирующим многообразием, или многообразием нулевой корреляции. Если выбрать m различных комплексных чисел {c0,..., cm 1 }, так что любая пара, составленная из этих чисел V2x,0 (t), то можно определить соответствующее линейное отображение вектора x R n в вектор y C m. Определение декоррелирующего многообразия (4) легко обобщить на обобщенном смысле . Пусть x1 (z), x2 (z),..., xn (z) набор независимых случайных полиномов.
Пусть Vkx,1m (t1),Vkx,2 (t 2),...,Vk,n (t n), соответствующие им, многообразия заданной корреляции.
Тогда многообразия, возникающие в результате произведения соответствующих полиномов, описываются следующими выражениями Если о статистике информационной последовательности имеются лишь весьма общие декоррелирующих многообразий. Поскольку статистика шума известна, то выражение (3) можно записать в виде Известен факт, являющийся следствием теоремы Гильберта о конечной порождённости идеала, что любое многообразие может быть представлено в виде объединения конечного числа неприводимых многообразий, и более того такое представление единственно, если Vkh, m (0) Vkx, m (0) и наоборот . Очевидно, что если представление (6) единственно, то многообразие Vkh, m (0) полностью характеризует импульсную характеристику канала и может многообразий, причем нам не требуется априорного знания моментов информационной последовательности. Однако подобное разложение крайне сложная задача в поле комплексных чисел. Поэтому мы воспользуемся отличием размерностей многообразий, порожденных ИХ канала и информационной последовательностью. Очевидно, что многообразие нулевой многообразием, многообразие Vkx, m (0) имеет размерность как правило 1, а в частном случае независимых, одинаково распределенных отсчетов информационной последовательности является пучком кривых в C R. Анализируя разложение (6) с учетом их размерности, можно разделить неизвестные многообразия выбирая различные сечения. Т.о. алгоритм слепой идентификации (А1) при R=2 сводится к следующей последовательности действий:
1. По М реализациям выходного сигнала оцениваем их полиномиальную ковариацию 2. Вычисляем вектора содержащие корни полиномов от одной переменной 3. Формируем вектор rh, содержащий L наиболее близких корней в плоскости C по Если мы имеем априорную информацию о статистике входного сигнала, то для построения алгоритма слепой идентификации мы непосредственно можем использовать структуру многообразия заданной корреляции случайного полинома. Пусть x(z) кольцу C - случайный полином степени n 1, заданный случайным гауссовым вектором x C n с нулевым математическим ожиданием, независимыми компонентами и дисперсией компонент 2, тогда многообразие заданной корреляции значений случайного полинома Рассмотрим теперь случай, когда точки выбраны так, что парные корреляции компонент не равны нулю, но не равны между собой, т.е. могут принадлежать различным многообразиям заданных корреляций. Пусть координатами являются { 1,..., n 1} корни полинома P (x). Если t 0, то можно показать, что любая парная комбинация эти корней V1,x (0). Это означает, что значение второго смешанного кумулянта имеет вид Таким образом, мы можем построить линейное отображение вектора x C n в вектор недиагональные компоненты. Это означает, что алгоритм оценки канала – алгоритм нахождения собственного вектора соответствующего максимальному собственному числу .
Т.о. алгоритм слепой идентификации (А2) сводится к следующей последовательности действий:
1. Преобразование парных корреляций наблюдаемого сигнала где: Vn1 (1,..., n1) - (n 1) n матрица Вандермонда; y k - k-й вектор наблюдаемых отсчетов сигнала.
2. Оценка выборочной ковариационной матрицы 3. Вычисление собственного вектора матрицы R = ri, j ti, j, 4. Вычисление импульсной характеристики канала где символ « # » - инверсия Мура-Пенроуза.
3. Результаты математического моделирования Для оценки эффективности предложенного подхода рассмотрим характеристики алгоритмов в сравнении с известным подходом на основе полиспектров . Как было показано алгебраическое уравнение для спектральных моментов 2-го порядка где H (m) - передаточная функция канала, n = 0,..., моменты второго порядка в (19) определяется в виде последовательности и шума, а спектральный момент последовательности отсчетов на выходе канала оценивается непосредственно по наблюдаемым реализациям. Алгоритмы решения уравнения (13) относительно неизвестной передаточной функции канала можно получить из предположения, что это уравнение справедливо для оценки Fyy (n, m). Алгоритм спектральной факторизации (A3) минимизирует средний квадрат ошибки между аналитическим и выборочным решением уравнения (13) при условии нормировки энергии передаточной функции к единице и естественно при соблюдении условия Fxx (m) 0, Известно, что решением в данном случае является собственный вектор эрмитовой матрицы, соответствующий максимальному собственному числу. На Рис.1 показаны результаты моделирования работы алгоритма А3. Относительная погрешность считалась по формуле Q = E h h h. Импульсная характеристика взята одинаковой для всех экспериментов h =(0.7,1.0,0.7). На Рис.2 показаны результаты математического моделирования алгоритма слепой идентификации канала А1 по двум сечениям декоррелирующего многообразия V2y0 v (0) C 2. Сечения взяты на плоскостях в C Помехоустойчивость данного алгоритма ниже чем у А3 при малых отношениях сигнал-шум, но стремится к нулю при фиксированной выборке. Важным достоинством данного алгоритма является отсутствие требований к знанию статистики информационной последовательности, а также высокая скорость сходимости. Так при высоком значении отношения сигнал-шум А дает приемлемую погрешность при использовании уже всего нескольких реализаций (=3…5).
На Рис.3 показаны результаты моделирования алгоритма А2. Помехоустойчивость данного алгоритма выше чем у А3 при примерно той же скорости сходимости. Более высокая помехоустойчивость достигается здесь за счет использования преобразования ненулевой корреляции, что обеспечивает хорошую обусловленность матрицы R, в отличии от алгоритма спектральной факторизации, где условие Fxx (m) 0 вообще говоря в рассматриваемом случае не выполняется. По вычислительной сложности все рассмотренные алгоритмы в принципе эквивалентны.
4. Заключение Применение полиномиальных представлений случайных векторов в задачах слепой идентификации позволило найти ряд новых алгоритмов слепой идентификации канала связи, основанных на применении методов коммутативной алгебры и алгебраической геометрии.
Показано, что многообразия, порожденные полиномиальными кумулянтами, обладают рядом уникальных свойств. Например, многообразия нулевой корреляции, порожденные случайной последовательностью и детерминированным каналом, могут быть разделены по их размерности, т.е. возможна слепая идентификация канала в отсутствии априорной информации о статистике информационной последовательности. Показано, что алгоритм, основанный на использование преобразования ненулевой корреляции, обеспечивает лучшие характеристики помехоустойчивости, чем алгоритм спектральной факторизации.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Tugnait J.T., Tong L., Ding Z. Single-user channel estimation and equalization // IEEE Signal Processing Magazine. – 2000. – P.17-28.2. Tong L., Perreau S. Multichannel blind identification: From subspace to maximum likelihood methods // Proceedings of IEEE. – Vol.86. – No.10. – 1998. – P.1951-1968.
3. Прокис Дж. Цифровая связь. Пер с англ. / под ред. Д.Д. Кловского. – М. Радио и связь.
– 2000. – 800с.
4. Никиас Х.Л., Рагувер М.Р. Биспектральное оценивание применительно к цифровой обработке сигналов // ТИИЭР. – 1987. – T.75. – №7. – C.5-30.
5. Goriachkin O.V., Klovsky D.D. Blind Channel Identification with Non-Stationary Input Processes // Proceedings of World Multiconference on Systemics, Cybernetics and Informatics, July 22-25, 2001, Orlando, Florida, USA. – Vol.XVIII. – P.386-388.
6. Горячкин О.В. Использование полиномиального представления в задаче слепой статистической идентификации канала связи // Сборник докладов 57-й научной сессии РНТОРЭС им. А.С.Попова, г. Москва, 2002. – С.73-76.
7. Кокс Д., Литтл Дж., О"Ши Д. Идеалы, многообразия и алгоритмы. Пер. с англ. / под ред. В.Л. Попова. – М.: Мир. – 2000.– 687с.
8. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований. - М.: «Сов. Радио». – 1978. – 376с.
9. Auzinger W., Stetter H.J. An elimination algorithm for the computation of all zeros of a system of multivariate polynomial equations // Birkhauser Verlag, Proc. Intern. Conf. on Numerical Math., Vol.86 of Int. Series of Numerical Math. – 1988. –Р.12-30.
10. Горячкин О.В. Алгоритмы идентификации передаточной функции радиоканала // Труды 4-й международной научной конференции «Цифровая обработка сигналов и ее приложения», Москва, 2002г. – Т.1. – С.176-179.
11. Grellier O., Comon P., Mourrain B., Trebuchet P. Analytical blind channel identification // IEEE Transactions on Signal Processing. – Vol.50. –2002. – №9.
12. Sato Y. A method of self-recovering equalization for multilevel amplitude-modulation systems // IEEE Trans. on Communications. – 1975. – vol. 23, – P.679-682.
13. Godard D.N. Self-recovering equalization and carrier tracking in two dimensional data communication systems // IEEE Trans. on Communications. – 1980. – vol.28. – №11. – P.1867Крамер Г. Математические методы статистики. Пер. с англ. – М. – 1975. – 745с.
15. Горячкин О.В. Полиномиальные представления и слепая идентификация систем // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. – 2002. – Т.5. – №4. – С. 53-60.
16. Горячкин О.В. Методы слепой обработки сигналов и их приложения в системах радиотехники и связи. – М.: Радио и связь, 2003. – 230с.
17. Горячкин О.В. Методы слепой идентификации и их приложения // Успехи современной радиоэлектроники. – 2004. – №3. – С.3-23.
18. Горячкин О.В. Слепая идентификация в радиотехнических системах передачи // Электросвязь. – 2004. – №6. – С.21-23.
19. Горячкин О.В. Полиномиальные статистики и их применение в задаче слепой идентификации радиотехнических систем // Доклады академии наук РФ. – 2004. – Т.396. – №4. – С.477-479.
Рис.1. Относительная погрешность идентификации Q, алгоритма А4, в зависимости от отношения сигнал-шум, для различного числа реализаций =20 («+»), = Рис.2. Относительная погрешность идентификации Q алгоритма А1 в зависимости от отношения сигнал/шум, для различных =0.01 («+»), =0.03 («o»), =0. Рис.3. Относительная погрешность идентификации Q алгоритма А2, в зависимости от отношения сигнал-шум, для различного числа реализаций =20 («+»), = Горячкин Олег Валериевич, 1965 года рождения, доктор технических наук, заведующий кафедрой теоретических основ радиотехники и связи ПГАТИ Автор более 90 научных работ. Область научных интересов: цифровая обработка сигналов в системах радиотехники и связи, радиофизические методы дистанционного зондирования Земли, радиолокация с синтезированием апертуры антенны, слепая идентификация систем, прикладная статистика.
В многолучевом канале необходимо ослабить влияние задержанных лучей, например, с помощью следующей схемы:
Каждый элемент линии задерживает сигнал на время Δ. Предположим, что при передаче одиночного импульса на приемник поступает 3 импульса с соотношением амплитуд 1: 0.5: 0.2, следующих через равные интервалы времени Δ. Этот сигнал x (t ) описывается отсчетами: х 0 = 1, х 1 = 0.5, х 2 = 0.2.
Сигнал на выходе фильтра получается суммированием, с весовыми коэффициентами b 0 , b 1 , b 2 , сигнала x (t ) и его задержанных копий:
Параметры b i необходимо выбрать так, чтобы на выходе фильтра получить отсчеты y 0 = 1, y 1 = y 2 = 0 при входных отсчетах 1, 0.5, 0.2:
Решение b 0 = 1, b 1 = – 0.5, b 2 = 0.05. При этих весовых коэффициентах
В рассмотренном примере параметры эквалайзера рассчитываются по известной импульсной характеристике канала. Эту характеристику определяют по реакции канала на известную приемнику «обучающую» (настроечную) последовательность. При большой избыточной задержке и высоком уровне многолучевых компонент сигнала длина настроечной последовательности, число элементов задержки в фильтре и частота опросов сигнала должны быть достаточно большими. Т.к. реальный канал не стационарен, определение его характеристики и коррекцию параметров фильтра приходится периодически повторять. С усложнением фильтра увеличивается время его адаптации.
Идентификация характеристик канала
Корреляционный метод идентификации импульсной характеристики
Выходной
сигнал фильтра
Пусть импульсная характеристика описывается тремя выборками:
Критерий адекватности модели – минимум дисперсии ошибки
Условия минимума дисперсии
или
|
|
|
Эта система, записанная в общем виде
является дискретной формой записи уравнения Винера – Хопфа
При сигнале x(t) типа белого шума R x (τ) ≈ 0,5N 0 δ(τ),
и оценка импульсной характеристики сводится к определению корреляционной функции R zx (τ).
Эквалайзер с обратной характеристикой канала
Знание характеристики канала не обязательно для ее выравнивания. Параметры фильтра можно подобрать по критерию минимума дисперсии D e ошибки e (t ) = x (t ) – x *(t ), где x (t ) – настроечная последовательность, переданная по каналу связи и генерируемая в приемнике.
Идеальное выравнивание характеристики канала (при H k (ω) H ф (ω) = 1) может быть нежелательным, если АЧХ канала имеет глубокие провалы: от корректирующего фильтра потребуется очень большое усиление на частотах, соответствующих нулям передаточной функции канала, усилится шум.
Принцип работы эквалайзера Витерби
Сигнал z (t ), принятый при передаче настроечной последовательности x (t ), подается на фильтр, согласованный с настроечной последовательностью. Выходной сигнал согласованного фильтра можно считать оценкой импульсной характеристики канала.
Детектируется сигнал, представляющий последовательность из n бит. Все 2 n возможных двоичных последовательностей, которые могли быть переданы, формируются в приемнике и пропускаются через фильтр – модель канала. Выбирается последовательность, отклик фильтра на которую меньше всего отличается от принятого сигнала.
