Введение
1. Анализ состояния вопроса цифровой фильтрации сигналов, в том числе фильтрации нестационарных случайных сигналов 9
1.1 Алгоритмы линейной цифровой фильтрации 9
1.2 Алгоритмы оптимальной цифровой фильтрации 11
1.3 Алгоритмы адаптивной цифровой фильтрации 14
1.4 Алгоритмы цифровой фильтрации на основе теории нечетких множеств " 19
1.5 Нейросетевые алгоритмы цифровой фильтрации 27
1.6 Выводы 33
2. Разработка алгоритмов цифровой фильтрации сигналов на основе теории нечетких множеств 35
2.1 Разработка алгоритма фильтра нижних частот 35
2.2 Разработка алгоритма полосового (режекторного) фильтра 58
2.3 Оценка функций принадлежности нечетких множеств - 65
2.4 Используемые критерии цифровой фильтрации 66
2.5 Анализ алгоритмов цифровой фильтрации 68
2.6 Выводы 72
3. Проектирование цифровых фильтров на основе разработанных алгоритмов 73
3.1 Проектирование цифрового фильтра нижних частот 73
3.2 Проектирование полосового (режекторного) фильтра 75
3.3 Выводы 77
4 Компьютерное моделирование цифровых фильтров 78
4.1 Компьютерная модель цифрового фильтра нижних частот 79
4.2 Компьютерная модель полосового (режекторного) фильтра 105
4.3 Выводы 108
5 Экспериментальные исследования 109
5.1 Исследование компьютерной модели цифрового фильтра нижних частот 115
5.2 Исследование компьютерной модели режекторного фильтра 134
5.3 Выводы136 ЗАКЛЮЧЕНИЕ137 ЛИТЕРАТУРА139 ПРИЛОЖЕНИЯ148
Введение к работе
Актуальность темы. В ряде областей техники форму сигналов связывают с объектом исследования, примером этого служат радиолокация, техническая и медицинская диагностика, телеметрия и др. Как правило, здесь имеют место нестационарные случайные сигналы малой продолжительности во времени. В результате обработки таких сигналов, например, с помощью линейного цифрового фильтра, их форма, а, следовательно, содержащиеся в ней диагностические признаки могут быть сильно искажены. В этой связи особую актуальность приобретает разработка алгоритмов цифровой фильтрации сигналов, направленных на сохранение их первоначальной (не искаженной шумами) формы. В современных литературных источниках, посвященных метрологическому обеспечению радиоизмерений (в частности в работах В. И. Нефедова), форма сигнала определяется как зависимость мгновенного значения сигнала от времени.
Рассмотрим, например, сигнал электрокардиограммы (ЭКГ). Как известно, кривая ЭКГ имеет характерную форму, содержащую в основе так называемые зубцы (экстремальные точки): Р, Q, R, S, Т. Каждому из этих зубцов соответствует определенный процесс возникновения и проведения электрического возбуждения в сердечной мышце. Установление диагноза в данном случае сводится к определению количественных признаков заболеваний с помощью формы зубцов. Под количественными признаками понимаются амплитуда зубцов, их продолжительность, временные интервалы между зубцами и т. д. Трудности, возникающие при фильтрации зашумленных ЭКГ сигналов заключаются в том, что характеристики сигналов при различных состояниях пациента значительно отличаются друг от друга. Так, например, линейный цифровой фильтр, рассчитанный для оптимального выделения нормальной кардиограммы из смеси с белым гауссовым шумом, искажает амплитуды зубцов кардиограмм с различными
заболеваниями. При анализе сигнала ЭКГ, прошедшего обработку с помощью алгоритма линейной цифровой фильтрации, происходит пропуск заболевания (дефекта). Аналогичные трудности возникают при распознавании кривых в технической диагностике. Здесь информация о состоянии системы (машины) содержится в виде записи значений диагностического параметра или его отклонений от нормального в различные моменты времени. Примером является запись во времени значений уровня вибраций двигателей.
Если для цифровой фильтрации с сохранением формы сигналов используются адаптивные алгоритмы (адаптивные цифровые фильтры), то для них также возникает ряд сложностей, т. к. целью применения алгоритма адаптивной фильтрации сигналов является достижение локального или глобального экстремума функционала качества. В задаче сохранения исходной формы сигнала под функционалом качества понимается зависимость значений среднего квадрата ошибки (СКО) от параметров адаптации цифрового фильтра. Если статистические свойства сигналов меняются во времени, то функционал качества можно считать «размытым» или нечетким, т. е. изменяющим свою форму и местоположение относительно введенной системы координат. В этом случае процесс адаптации состоит не только в движении к точке экстремума, но и в слежении за этой точкой, поскольку она меняет свое местоположение в пространстве. В рассмотренных условиях использование адаптивных алгоритмов на основе принципов оптимальной линейной фильтрации является неэффективным и нерациональным с точки зрения вычислительных затрат. Таким образом, для решения задач цифровой фильтрации с сохранением формы сигналов особую актуальность приобретает разработка альтернативных алгоритмов цифровой фильтрации сигналов, позволяющих восполнить отсутствие статистических характеристик с помощью обучающей выборки.
Одним из вариантов построения алгоритмов цифровой фильтрации, сохраняющих первоначальную форму сигналов является использование нечеткой логики. Адаптивные фильтры на основе алгоритмов с нечеткой логикой имеют повышенное быстродействие и обеспечивают меньшую погрешность фильтрации за счет более адекватного описания обрабатываемых сигналов."Альтернативой нечеткой логике служат нейронные сети, однако реализация нейросетевых систем цифровой фильтрации сигналов затруднена чрезвычайно высокой трудоемкостью процедуры обучения. Все это делает очень актуальным развитие существующих, а также создание новых алгоритмов цифровой фильтрации с использованием нечеткой логики, которые обеспечивают более высокое качество восстановления формы случайных сигналов, в том числе нестационарных.
Цель диссертационной работы - разработка алгоритмов цифровой фильтрации на основе теории нечетких множеств для сигналов с различным спектром.
Для достижения поставленной цели в диссертации решены следующие задачи:
Исследованы существующие алгоритмы цифровой фильтрации сигналов с использованием нечеткой логики и искусственных нейронных сетей.
Разработаны алгоритмы цифровой фильтрации сигналов на основе теории нечетких множеств.
Проведены проектирование и компьютерная реализация цифровых фильтров с нечеткой логикой.
Выполнена экспериментальная проверка разработанных цифровых фильтров.
Методы исследований. При выполнении работы были использованы положения общей теории радиотехнических сигналов, теория нечетких множеств, численные методы, методы вычислительной математики и теории
программирования, методы статистической обработки экспериментальных данных.
Научная новизна. Решение поставленных задач определило новизну диссертации, которая заключается в следующем:
Разработан модифицированный алгоритм цифровой фильтрации сигналов на основе теории нечетких множеств, отличительной особенностью которого является адаптивное изменение функций принадлежности в зависимости от значений конечных разностей первого порядка сигнала.
Разработан алгоритм цифровой фильтрации сигналов, дающий возможность перестраивать центральную частоту фильтра в соответствии с характеристиками сигнала при сохранении всех других параметров фильтра.
На защиту выносятся:
Алгоритм цифровой фильтрации сигналов с адаптивно изменяемыми функциями принадлежности.
Алгоритм цифровой фильтрации сигналов с изменяемой центральной частотой фильтра при сохранении всех остальных его параметров.
Практическая значимость проведенных исследований.
Разработанное в диссертации программное обеспечение имеет практическую значимость, т. к. позволяет уменьшить временные затраты на проектирование радиотехнических устройств типа цифрового фильтра с нечеткой логикой почти в 10 раз.
Реализация и внедрение результатов работы. Разработанные алгоритмы и программное обеспечение внедрены в ООО НТК «Интеллектуальные комплексные системы», а также в НОУ «Институт радиоэлектроники, сервиса и диагностики», что подтверждено соответствующими актами.
Апробация работы. Основные положения диссертационной работы получили положительную оценку при обсуждении на 9 международных и всероссийских конференциях, в том числе:
VII Международная конференция «Актуальные проблемы электронного
приборостроения» (Новосибирск, 2004 г.);
III Международный технологический конгресс «Военная техника, вооружение
и технологии двойного применения» (Омск, 2005 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 печатных работ, из них 2 - статьи в научных периодических изданиях, 10 - материалы и тезисы докладов в трудах международных и всероссийских конференций, 1 - свидетельство об отраслевой регистрации разработки.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, приложений. Общий объем диссертации - 159 страниц. Основной текст изложен на 138 страницах, включает 73 рисунка, список литературы из 86 наименований.
Алгоритмы оптимальной цифровой фильтрации
В общем случае оптимальный фильтр может быть определен как частотно-избирательная система, выполняющая обработку суммы сигнала и шума некоторым наилучшим образом. Этот тип фильтров применяется тогда, когда требуется оценить те или иные физические величины, характеризующие состояние системы, подверженной случайным возмущениям. Современной тенденцией развития оптимальных цифровых фильтров является реализация устройств, минимизирующих СКО оценивания. Оптимальные цифровые фильтры подразделяются на линейные и нелинейные в зависимости от того, какими уравнениями описывается их состояние.
Пусть имеются два вероятностно связанных случайных процесса d(t) и x(t), при этом первым процессом является полезный сигнал, а вторым - принятое колебание в виде суммы полезного сигнала и некоторого шума u(/):
Требуется оценить сигнал d(t) по доступному наблюдению х(ґ). Требуемаяоценка d(t) должна быть получена в некоторых точках t = v, й v t2, й и tl -некоторые константы.
При решении задачи предполагаются заданными все необходимые вероятностные характеристики процессов d(t) и x{t), а также данные наблюдений х(и), и є (tl,t2). В качестве критерия оптимальности примем критерий минимума СКО: математическое ожидание квадрата ошибкигде М - оператор математического ожидания, должно быть минимальным. Рассмотрим случай линейного оценивания для непрерывного времени t, т. е. будем искать оценку в виде
В данном случае h(y) - импульсная характеристика системы, осуществляющей оценивание (оптимального стационарного фильтра). Функция h(y) находится в результате решения интегрального уравнения Винера-Хопфа :где Л(іх(т) - взаимная корреляционная функция процессов d(/) и х(/); Лх(т) автокорреляционная функция процесса x(t); h (v) - оптимальная (Винеровская)импульсная характеристика системы. При h{v) - h (v) математическое ожидание квадрата ошибки минимально. Из уравнения (1.6) получено выражение для расчета минимального значения СКО при использовании оптимальной линейной системы . Обработка сигналов с использованием нелинейных методов фильтрации подробно изложена в источниках .
Одним из наиболее известных является алгоритм оптимальной цифровой фильтрации Калмана . Данный алгоритм реализует рекурсивную процедуру адаптации, основанную на авторегрессионной модели процесса генерирования сигнала. Если входной сигнал является случайным и марковским, то его можно представить как выходной сигнал линейной дискретной системы, возбуждаемойбелым шумом w(ri) с нулевым математическим ожиданием и дисперсией ow .
Модель генерирования сигнала описывается выражениемгде а - некоторая константа.Предполагается, что сигнал проходит через канал связи, модель воздействия которого описывается уравнениемгде с - константа, описывающая амплитудные изменения сигнала; u(w) аддитивный белый шум с нулевым математическим ожиданием и дисперсией cu . Алгоритм оптимальной цифровой фильтрации Калмана позволяет получитьоценку d(ri) максимально близкую к сигналу d(n) по критерию минимума СКО. Выражение, которым описывается алгоритм, имеет вид:где
Значение К(я) носит название «коэффициент доверия» и зависит от шумовыхпараметров канала связи и текущего значения СКО.Синтез оптимальных цифровых фильтров возможен только при наличии априорных сведений о статистических характеристиках сигнала и шума, а также о способе комбинирования сигнала и шума. Важной проблемой является также обеспечение нечувствительности всех вышеперечисленных алгоритмов к отклонению статистических характеристик системы от заранее заданных. Синтез таких цифровых фильтров, называемых робастными, подробно описан в работе .
Во многих случаях цифровые фильтры с постоянными параметрами не могут быть использованы, так как корреляционные свойства входного и эталонного сигналов неизвестны или изменяются во времени. Поэтому необходимо сначала обучать цифровые фильтры по обучающим статистикам, а затем осуществлять слежение за ними, если они медленно меняются. Если частотные характеристики цифровых фильтров зависят от спектров обрабатываемых сигналов, то такие фильтры называют адаптивными . Основополагающими работами по синтезу адаптивных цифровых фильтров можно считать монографии Я. 3. Цыпкина, Р. Л. Стратоновича, В. В. Шахгильдяна, М. С. Лохвицкого, Б. Уидроу и С. Стирнза.
В работе под адаптивным понимается такой алгоритм принятия решения, при построении которого для преодоления априорной неопределенности используется предварительное обучение. Основная задача адаптивного фильтра -повысить качество обработки сигнала. Для обработки входного сигнала используется обычный КИХ-фильтр, однако импульсная характеристика этого фильтра не остается раз и навсегда заданной, как это было при рассмотрении цифровых фильтров частотной селекции. При этом она также не изменяется по априорно заданному закону, как в случае фильтра Калмана. Требования к АЧХ адаптивных фильтров обычно не задаются, поскольку их характеристики изменяются во времени.
Разработка алгоритма полосового (режекторного) фильтра
С учетом проведенных исследований в диссертации также разработан алгоритм цифровой фильтрации сигналов с изменяемой центральной частотой фильтра при сохранении всех остальных его параметров.
Представленные в некоторых известных работах алгоритмы цифровой фильтрации предназначены для использования в основе фильтров нижних частот, а их адаптация к изменяющимся характеристикам сигналаосуществляется путем изменения ширины полосы пропускания фильтра. Во многих практических случаях спектр сигнала сосредоточен в некоторой полосе, т. е. возникают задачи, требующие создания полосовых или режекторных фильтров с изменяемой центральной частотой.
Вернемся к уравнению (2.12) и еще раз запишем соответствующий ему коэффициент передачи:
Аппроксимационные и реализационные возможности конкретного типа фильтров определяются теми значениями амплитудной функции (или АЧХ), которые они приобретают на границах основного частотного диапазона, т. е. на частотах в = 0 (f = 0) и ю = я (f = і д/2), независимо от коэффициентов. Проанализируем значения АЧХ на частотах ю = 0 и ш = я. Как уже было рассмотрено в этой главе, на частоте в = 0 значение АЧХ при любых коэффициентах будет равно единице, а на частоте и ю = %, получаем (при L = 8):
Таким образом, на частоте со = я значение АЧХ будет полностью определяться коэффициентами фильтра, т. е. отсчетами его импульсной характеристики.Из всего сказанного выше вытекают свойства любых дискретных фильтров, частотный коэффициент передачи которых описывается выражением (2.20):1. Возможна реализация фильтров низкочастотной, многочастотной ирежекторной избирательности;2. Невозможно конструирование полосовых и высокочастотных фильтров.Утверждение 3. Действие цифрового полосового фильтра описывается формулой где s - коэффициенты, определяющие центральную частоту; bk є .
Доказательство. Как известно, перенос спектра сигнала в область высоких частот означает переход от видеоимпульса к радиоимпульсу. Аналогичное утверждение касается и АЧХ цифровых фильтров. В общем случае коэффициент передачи цифрового устройства при умножении его импульсной характеристики на гармоническую функцию будет определяться выражением
При умножении сигнала на гармоническую функцию его спектр распадается на два слагаемых вдвое меньшего уровня, смещенных на Шо вправо (со + Шо) и влево (со - о) по оси частот. Таким образом, выражение (2.22) может быть записано в следующем виде:отсчеты гармонического сигнала. Для создания полосового фильтра необходимо, чтобы выполнялось условие Кп(со0) = 1, поэтому в выражении (2.22) появляется множитель 2. Исходя из формулы (2.22) можно записать алгоритм цифровой фильтрации сигналов, который будет иметь АЧХ полосового фильтра
Утверждение доказано. С учетом перестраиваемых коэффициентов и искусственного сдвига начала координат переменной к выражение (2.23) примет вид:
В выражении (2.24) весовые коэффициенты ц(х„_Л) определяют ширину, а s(x„.k, k)=sn_k - центральную частоту фильтра.
Адаптация центральной частоты фильтра, т. е. коэффициентов sn.k, может осуществляться следующим образом. Пусть на вход фильтра подана смесь гармонического сигнала и гауссова шума:
Как известно, математический спектр гармонического сигнала представляет собой дельта-функции, расположенные на частотах ±со0. Поэтому необходимовыбрать фильтр, обладающий наиболее узкой полосой пропускания. Наименьшей шириной полосы пропускания при заданном порядке обладает однородный фильтр. Следовательно, все коэффициенты \i(xn_k) будут иметь одно и то жезначение l/(2iV+l), a sw_A будут равны cos((o0(n-k)T + p0) .
Согласно принципам, изложенным в работе , ширина спектра сигнала оценивается с использованием разностей Axn_k = хп-хп_к. Эти же разности могут быть применены и для оценки частоты сигнала ю0. В нашем случае полезный сигнал является периодическим, т. е. выполняется условиеналичии синхронного канала формирования опорных колебаний равенство оцениваемого отсчета сигнала хп и отсчета, отстоящего по времени на к периодов дискретизации, означает, что центральная частота сигнала принимает значение из совокупности со0= 2n-fjk. В данном случае к = ±2, ±3, ... ±N, кф±\. Иными словами каждый отсчет сигнала хп_к может быть рассмотрен сточки зрения принадлежности нечетким множествам F = СИГНАЛ С ЦЕНТРАЛЬНОЙ їАІк, к ф ±1. Одна из возможных форм функции принадлежности \і?(хп_к) нечетких множеств F имеет вид, представленный на рис. 2.3 (а).
Для нахождения значений sn_k необходимо реализовать ряд нечеткихправил: «Rk: если Ахп_к близка к нулю, тогда центральная частота фильтра должна быть близка fa/b . Эти правила в дальнейшем будут объединены между собой. На основе результатов их объединения будет получена оценка частоты сигнала ю0. Представление диапазона изменения центральной частоты фильтра в нечетком пространстве (фазификация ) выполнено в виде семейства нечетких множеств fk = ЦЕНТРАЛЬНАЯ ЧАСТОТА ФИЛЬТРА ПРИМЕРНО ijk с отдельными функциями принадлежности Hjt(fo), что показано на рис. 2.14.
Проектирование полосового (режекторного) фильтра
Согласно на основе алгоритма линейной цифровой фильтрации может быть построена структурная схема физически реализуемого устройства. При этом в ее состав входят блоки, выполняющие сложение, умножение на весовой коэффициент, а также задержку отсчетов сигнала на один интервал дискретизации. Получим структурную схему цифрового фильтра, реализующего алгоритм (2.19). Из возможных форм реализации выберем прямую форму, как наиболее наглядно иллюстрирующую алгоритм, лежащий в ее основе. Как было рассмотрено ранее, формула (2.19) отличается от выражения (2.1) переменными коэффициентами \і(хп.к,к,Ь), а также наличием знаменателя. Следовательно, структурная схема фильтра на основе алгоритма (2.19), помимо стандартныхблоков линейного цифрового фильтра, будет содержать блок деления и дополнительный сумматор, подсчитывающий сумму весовых коэффициентов. Кроме того, в структурной схеме также будет присутствовать блок вычислителя весовых коэффициентов. Таким образом, структурная схема цифрового фильтра нижних частот будет иметь вид, представленный на рис. 3.1.
Адаптивный цифровой фильтр с алгоритмом (2.19) обладает следующими характеристиками (при частоте дискретизации сигнала 250 Гц и N=4):
С учетом всего сказанного выше, алгоритм (2.24) также может быть использован для построения структурной схемы цифрового фильтра .
Согласно главе 2, для алгоритма цифровой фильтрации с изменяемой центральной частотой фильтра необходимо наличие функций принадлежности I F(X«-) и (fo), которые определяют значения s(x„4, к). Кроме этого, в алгоритме (2.24) сохранены коэффициенты \i(xn.k), определяющие ширину полосы пропускания фильтра. Следовательно, структурная схема полосового фильтра будет близка к схеме на рис. 3.1, однако в ней появятся дополнительные умножители отсчетов сигнала на коэффициенты s(xn.k, к). Случай прямой формы реализации выражения (2.24) показан на рис. 3.2.
На основе полосового можно построить режекторный фильтр путем преобразования передаточной функции. Как известно , фильтр верхних частот представляет собой разность между всепропускающим уп=хп и низкочастотным фильтрами. Одним из вариантов построения режекторного фильтра служит параллельное включение всепропускающего и рассмотренного ранее полосового фильтров по схеме, показанной на рис. 3.3.
В данной главе проведено проектирование фильтров нижних частот, а также полосовых и режекторных фильтров с нечеткой логикой. В частности, разработаны структурные схемы адаптивных цифровых фильтров с использованием алгоритмов (2.19) и (2.24). Представленные структурные схемы позволяют осуществлять на их основе микропроцессорную реализацию разработанных алгоритмов, а также могут быть использованы для создания программ в различных системах имитационного моделирования с целью проведения экспериментальных исследований.
По результатам проведенных исследований было выполнено компьютерное моделирование разработанных цифровых фильтров. Для создания компьютерных моделей была использована система MATLAB 6.5, имеющая значительные преимущества перед существующими ныне математическими системами и пакетами. Система MATLAB создана для проведения научных и инженерных расчетов и ориентирована на работу с массивами данных. Математический аппарат системы опирается на вычисления с матрицами, векторами, комплексными числами. Язык программирования системы MATLAB достаточно прост и содержит всего несколько десятков операторов. Небольшое число операторов компенсируется процедурами и функциями, которые доступны для коррекции и модификации. Запись программ в системе является традиционной и поэтому привычной для большинства пользователей. Система использует математический сопроцессор и допускает возможность обращения к программам, написанным на языках FORTRAN, С и C++. Система также обладает большими возможностями для работы с сигналами. В наличии имеется большое количество специализированных пакетов расширения, предназначенных для решения различных классов математических и технических задач. Кроме того, система значительно опережает многие другие подобные программы по скорости выполнения операций. Все эти особенности делают систему MATLAB весьма привлекательной для решения очень многих классов задач.
Пакет Simulink системы MATLAB позволяет осуществлять моделирование динамических нелинейных систем. Ввод характеристик исследуемых систем производится в диалоговом режиме, путем графической сборки схемы соединений стандартных элементарных звеньев. Элементарными звеньями служат блоки (или модули), хранящиеся во встроенной библиотеке. Состав библиотеки может быть
Компьютерная модель полосового (режекторного) фильтра
Автором работы также было проведено моделирование полосового (режекторного) цифрового фильтра на основе теории нечетких множеств. Компьютерная модель в программной среде MATLAB была зарегистрирована в отраслевом фонде алгоритмов и программ . Общий вид модели для случая перестройки центральной частоты фильтра от fJ5 до і д/3 (при N=4) показан на рис. 4.23. Как и ранее, аддитивная смесь хя (выход блока Suml) полезного сигнала с блока From Workspace и шума от источника Noise поступает на вход подсистемы Delay line. Структура данной подсистемы уже упоминалась нами, и ее вид был представлен на рис. 4.2. Вектор отсчетов входного сигнала X с помощью демультиплексора разделяется по элементам, которые далее поступают на входы однотипных подсистем Subsysteml - Subsystem6 (см. рис. 4.23). Внутреннее устройство подсистемы Subsysteml показано на рис. 4.24. Данная подсистема служит для нахождения значений HF(X„.) (см. главу 2 данной работы). Подсистема вычисляет разность между отсчетами сигнала (в данном случае это отсчеты х„_8 и хЛ_3) и использует ее в качестве входного сигнала блока Gaussian MF (см. рис. 4.24). Блок Gaussian MF выдает значения гауссовой функции, аргументом которой служит разность х„_8 - х„_3. Выходные сигналы подсистем Subsysteml- Subsystem6 подаются к блокам MinMaxl - МіпМахЗ (см. рис. 4.23). Эти блоки используются для объединения правил относительно переменных I х«" хп-к I и I хи" хп+к I и выдают на выход минимальный из двух входныхРис. 4.24 сигналов. Выходы блоков MinMaxl - МіпМахЗ направляются к блокам MATLAB Fcn2 - MATLAB Fcn4 соответственно. При этом выходы MinMaxl - МіпМахЗ формируются в трехмерный вектор и поступают на вход блока MATLAB Fcnl.
Прежде всего, рассмотрим действие блоков MATLAB Fch2 - MATLAB Fcn4. В приложениях 11-13 приведены программы, выполняемые данными блоками. Каждая из программ вычисляет все возможные значения коэффициентов s(x„.A) и, в зависимости от входного сигнала, выбирает из них необходимые. Каждый из блоков выдает четырехмерные векторы, состоящие из значений sn+l,sn+2 Sw+3 sn+4 Программа, согласно которой работает блок MATLAB Fcnl, представлена в приложении 10. Действие этой программы уже было подробно рассмотрено в настоящей главе. В данной компьютерной модели она используется для выбора вектора коэффициентов s(x„.A). Выходной сигнал блока MATLAB Fcnl поступает на управляющий вход переключателя Multiport Switch 1. Далее четырехмерный выходной сигнал переключателя с помощью демультиплексора разделяется по элементам и направляется на входы умножителей Product 1 - Product 8 (рис. 4.23). Эти блоки перемножают отсчеты сигнала хп_к и коэффициенты s(x„.A) согласновыражению (2.24). В данной работе рассматривается компьютерная модель цифрового фильтра с постоянной шириной полосы пропускания (режекции). В рассматриваемом случае полоса пропускания (режекции) имеет наименьшую ширину при заданном порядке фильтра. Поэтому все коэффициенты \i(xn.k) равны единице, а их сумма равна 9. Таким образом, знаменатель выражения (2.24) представлен в виде блока Constantl (рис. 4.23). Числителем (2.24) является сигнал сумматора Sum2, а операция деления производится с помощью блока Product 9. Выходной сигнал делителя усиливается в два раза (блок Gain 1) и направляется на выход цифрового фильтра.
В данной главе разработаны компьютерные программы, моделирующие действие адаптивного цифрового ФНЧ на основе теории нечетких множеств и позволяющие в режиме обучения производить настройку функций принадлежности. Также проведена разработка компьютерной модели полосового (режекторного) фильтра с изменяемой центральной частотой фильтра.
Рассмотренные в предыдущей главе компьютерные модели цифровых фильтров, были применены для обработки различных сигналов. Сначала рассматривался случай, когда цифровые фильтры на основе теории нечетких множеств обучаются на сигналах при отсутствии шума, а помехи накладываются только на тестирующую выборку. Во втором случае в качестве обучающей выборки использовались сигналы с добавлением шума. Далее до конца главы будет рассматриваться только второй случай обучения, так как он является более эффективным.
Характеристики компьютерной модели ФНЧ, рассмотренного в данной работе, сравнивались с характеристиками моделей фильтров на основе ранее известных алгоритмов. Для сравнения использовались компьютерные модели цифрового фильтра на основе алгоритма японских ученых К. Arakawa и Y. Arakawa и линейного цифрового фильтра. Далее модель цифрового ФНЧ с адаптивно изменяемыми функциями принадлежности будем именовать как Ф1, модель линейного цифрового фильтра как ЛФНЧ, а для модели фильтра из работы оставим название, предложенное его авторами - SFF (см. гл. 2).
Для исследования характеристик ФНЧ применялись фрагменты оцифрованных реальных кардиограмм, размещенных на web-сайте http://www.physionet.org.
Абсолютная погрешность вычислений при компьютерном моделировании не превышает 10"7, что определяется пределами допускаемой абсолютной погрешности, устанавливаемой пользователем .
Как известно , любая электрокардиограмма представляет собой графическое отображение колебания потенциалов на поверхности тела, обусловленных работой сердца. Кривая ЭКГ имеет характерную форму, содержащую в основе так называемые зубцы (экстремальные точки): Р, Q, R, S, Т. Каждому из этих зубцов соответствует определенный процесс возникновения и проведения электрического возбуждения в сердечной мышце.
Наиболее важным этапом анализа кардиограммы, является анализ зубцов (анализ предсердного зубца Р и комплекса QRS) . Установление диагноза сводится к определению количественных признаков заболеваний с помощью формы зубцов. Под количественными признаками понимается амплитуда зубцов, их продолжительность, временные интервалы между зубцами и т. д. Что касается формы, то здесь информация о заболевании в основном заложена в наличии расщепления, или расширения вершины . Большое значение имеет полярность зубцов Р и Т.
Карасев Олег Евгеньевич
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
АЛГОРИТМЫ ФИЛЬТРАЦИИ СИГНАЛОВ В АСУТП
Цель. Ознакомление с наиболее распространенными в АСУТП алгоритмами фильтрации измеряемых случайных сигналов, проведение сравнительного анализа их точности и особенностей реализации в ЭВМ.
Задание
1) для заданных характеристик случайных сигналов рассчитать оптимальные параметры фильтров,
2) смоделировать систему фильтрации на ЭВМ и вычислить погрешность фильтрацию по каждому из рассмотренных методов,
3) провести сравнительный анализ эффективности рассмотренных алгоритмов.
Основные положения. 1 Постановка задачи оптимальной фильтрации. Сигналы от измерительных устройств часто содержат случайную погрешность – помеху. Задача фильтрации состоит в том, чтобы в той или иной степени отделить полезную составляющую сигнала от помехи. Как правило, и полезный сигнал, и помеха предполагаются стационарными случайных процессами для которых известны их статистические характеристики: математическое ожидание, дисперсия, корреляционная функция, спектральная плотность. Зная эти характеристики нужно найти фильтр в классе линейных динамических систем или в более узком классе линейных систем с заданной структурой так, чтобы сигнал на выходе фильтра возможно меньше отличался от полезного сигнала.
Рис.1. К постановке задачи фильтрации
Введем обозначения и поставим задачу фильтрации точнее. Пусть на вход фильтра с импульсной характеристикой к(t ) и соответствующей (в силу Фурье преобразования) 0
АФХ W (iω ) поступают полезные сигналы x (t ) и некорреляционная с ним помеха z (t ) (рис.1). Корреляционные функции и спектральные плотности полезного сигнала и помехи обозначим R x (t ), S x (t ), R z (t ) и S z (t ) . Требуется найти характеристики фильтра k(t) или W(t) так, чтобы среднеквадратичное значение разности ε между сигналом на выходе фильтра и полезным сигналом x было минимальным. Если характеристика фильтра известна с точностью до одного или нескольких параметров, то надо выбрать оптимальные значения этих параметров.
Ошибка ε содержит две составляющие. Первая (ε 1 ) связана с тем, что некоторая часть помехи все же пройдет через фильтр, а вторая (ε 2 ) – с тем, что форма полезного сигнала при прохождении через фильтр изменится. Таким образом, определение оптимальной характеристики фильтра представляет собой поиск компромиссного решения, минимизирующего суммарную погрешность.
Представим частотную характеристику фильтра в виде:
W(iω) = A(ω)exp.
По формулам, связывающим спектральные плотности случайных процессов на входе и выходе линейной системы с ее частотной характеристикой подсчитываем спектральные плотности каждой из составляющих ошибки.
Для ошибки, связанной с пропуском помехи, получим
S ε1 (ω) = S z (ω ) A 2 (ω )
Спектральная плотность ошибки, связанной с искажением полезного сигнала, равна
S ε2 (ω) = S x (ω )|1 – W (iω )| 2
Сумма этих составляющих S ε имеет спектральную плотность
S ε (ω ) = S ε1 (ω ) + S ε2 (ω )
Если учесть, что
|1 – W (iω )| 2 = 2 + А 2 (ω ) sin 2 f (ω ),
S ε (ω ) = S z (ω) A 2 (ω) + S x (ω) A 2 (ω ) + S x (ω) – 2 S x (ω) A (ω) cosf (ω) . (1)
Среднеквадратичная ошибка связана со спектральной плотностью выражением
Минимизируя S ε (ω ) по f (ω) и А(ω) , приходим к уравнениям
cos
f*(ω
)
= 1
f*
(ω
)
= 0
2S
z
(ω
)A(ω)
– 2S
x
(ω) = 0
(2)
Найденным характеристикам оптимального фильтра соответствует спектральная плотность ошибки
Минимальная среднеквадратичная ошибка
(3)
К сожалению, найденный фильтр не реализуем так как условие равенства нулю на всех частотах фазо-частотной характеристики означает, что импульсная характеристика фильтра – четная функция она отлична от нуля не только при t >0 , но и при t (рис 2,а).
Для любого физически реализуемого фильтра справедливо требование: к(t ) = 0 при t (рис. 2,б). Это требование следовало бы ввести в постановку задачи. Естественно, что достижимая ошибка σ при этом возросла бы. Задача оптимальной фильтрации с учетом физической реализуемости была решена.
Рис. 2. Импульсные характеристики нереализуемого (а) и реализуемого (б) фильтров
Рис. 3. Спектральные плотности полезного сигнала S x (ω) и шума S z (ω) и амплитудно-частотная характеристика оптимального фильтра А * (ω) при неперекрывающихся (а) и перекрывающихся (б) S x (ω) и S z (ω)
Н. Винером. Ее решение значительно
сложнее приведенного выше, поэтому в
данной работе будем искать физически
реализуемые фильтры лишь в классе
фильтров, характеристики которых заданы
с точностью до значений параметров.
Величина же
,
рассчитанная по формуле (3), может служить
нижней оценкой достижимой погрешности
фильтрации.
Физический смысл соотношения (2,б) иллюстрируется рис. 3. Если спектры полезного сигнала и помехи не перекрываются, то А(ω) должно быть равно нулю там, где спектральная плотность помехи отлична от нуля, и равно единице для всех частот, на которых S x (ω)>0 . На рис. 3,б показан, характер А*(ω) в случае, когда спектральные плотности сигнала и помехи перекрывают друг друга.
Среди фильтров с заданной структурой наиболее широкое распространение нашли фильтры, основанные на операции скользящего среднего, а также экспоненциальный фильтр и так называемый статистический фильтр нулевого порядка. Экспоненциальный фильтр представляет собой апериодическое звено первого порядка, а статистический фильтр нулевого порядка – усилительное звено. Рассмотрим каждый из упомянутых фильтров подробнее.
Фильтр скользящего среднего. Выход фильтра связан с его входом соотношением
Импульсная переходная функция фильтра показана на рис.4,а. Частотные характеристики равны
Импульсная характеристика может быть выражена через функцию Хевисайда 1(t )
k (t ) = k .
Настраиваемыми параметрами фильтра являются коэффициент усиления k и память Т .
Экспоненциальный фильтр (рис. 4,б). Сигнал на выходе определяется дифференциальным уравнением
y / γ + y = kg
Импульсная характеристика имеет вид:
Частотные характеристики
Параметрами фильтра являются коэффициент усиления k и постоянная времени, обратная величине γ .
Рис. 4. Импульсные переходные функции k (t ) и амплитудно-частотные характеристики А(ω) типовых фильтров: а – текущего среднего; б – экспоненциального; в) статического нулевого порядка
Статистический фильтр нулевого порядка. Этот фильтр, как упоминалось выше, является усилительным звеном. Его характеристики
y (t ) = kg (t ) ; A (ω) = k ; f (ω) = 0
Вес перечисленные фильтры не позволяют добиться идеальной фильтрации даже при непересекающихся спектрах сигнала и помехи. Минимизировать ошибку σ ε можно, подбирая параметры k, Т, γ . При этом нужно характеристики фильтра А(ω) и f (ω) как функции частоты и параметров подставить в формулу (1), взять интеграл от получившегося выражения, который будет функцией параметров фильтра, и найти минимум этого интеграла по параметрам.
Например, для статистического фильтра кулевого порядка спектральная плотность ошибки будет иметь вид:
S ε (ω ) = S z (ω ) k 2 + S x ω (1 – k 2 )
Интеграл S ε равен дисперсии помехи, умноженной на π . Получим
Учтем, что интегралы в правой части этого равенства равны дисперсиям полезного сигнала, и помехи, так что
Условие минимума этого выражения по k приводит к равенству
После подстановки найденного значения k в выражение для дисперсии ошибки получим:
Фильтры текущего среднего и экспоненциальный имеют по два настраиваемых, параметра, и их оптимальные значения не удастся так легко выразить через характеристики полезного сигнала и помехи, однако эти значения можно найти численными методами поиска минимума функции по двум переменным.
Рис.5 Структурная схема моделирования на ЭВМ системы фильтрации случайного сигнала
2. Описание моделируемой системы. Работа проводится путем моделирования на ЭВМ системы, состоящей из следующих блоков (рис. 5).
1. Генератор входного сигнала I, включающий генератор случайного сигнала (ГСС) и два формирующих фильтра с заданными характеристиками W x (iω ) и W z (iω ) , на выходе которых получают полезный сигнал x (t ) и помеху z (t ) . Между генератором случайного сигнала и формирующим фильтром W z включено звено запаздывания Δ, обеспечивающее сдвиг на два-три такта. При этом вход фильтра, формирующего помехи, и вход фильтра, формирующего полезный сигнал, оказываются некоррелированными друг с другом.
2. Блок
расчета корреляционных функций
.
3. Блок
фильтрации (II), включающий собственно
фильтр
и блок расчета погрешности фильтрации
.
Генерируемые в системе полезный сигнал x (t) и помеха z (t ) являются стационарными случайными процессами, корреляционные функции которых могут быть приближенно аппроксимированы экспонентами вида (рис. 6)
(6)
где
Оценки дисперсий сигналов
и
рассчитывают с помощью блока
(при τ = 0); параметры α и α z
задаются преподавателем.
3. Дискретная реализация непрерывных фильтров. В работе используют дискретные реализации описанных выше непрерывных фильтров. Шаг дискретности t o принимают существенно меньше, чем время затухания корреляционных функций полезного сигнала и шума. Поэтому записанные выше выражения (1) для подсчета σ ε через спектральные характеристики входного сигнала и шума могут быть использованы и в дискретном случае.
Найдем сначала дискретные аналоги фильтров, формирующих из сигнала, получаемого от ГСС, случайные процессы с корреляционными функциями (6). Спектральные плотности, соответствующие этим корреляционным функциям, имеют вид
(7)
Передаточные функции формирующих фильтров для случая, когда дисперсия сигнала на выходе ГСС равна единице, равны
Нетрудно видеть, что
Если сигнал на входе каждого из формирующих фильтров обозначить через ξ , то дифференциальные уравнения, соответствующие передаточным функциям, записанным выше, имеют вид
Соответствующие им разностные аналоги запишутся в виде;
Таким образом, алгоритм работы фильтра, формирующего, полезный сигнал, имеет вид:
(8a)
Аналогично для фильтра, формирующего помехи
(8б)
Аналоги непрерывных фильтров, предназначенных для выделения помехи, имеют следующий вид:
для фильтра скользящего среднего
(9)
где величину l выбирают из условия (l + 1) t о = T ;
для экспоненциального фильтра
(10)
для статистического фильтра нулевого порядка
у i = kg i (11)
Порядок выполнения. 1. Составить и отладить подпрограммы блока фильтрации текущей информации и вычисления погрешностей фильтрации.
2. Получить реализации случайных процессов на выходе формирующих фильтров и по ним найти оценки дисперсий полезного сигнала и помех, а также корреляционных функций R x (τ) и R z (τ) . Приближенно определить α х и α z и сравнить с расчетными.
3. Рассчитать
по S
x
(ω)
и S
z
(ω)
аналитически или на ЭВМ нижнюю оценку
для среднеквадратичной ошибки фильтрации.
4. По формуле
(4) найти оптимальный коэффициент усиления
статистического фильтра нулевого
порядка и соответствующее ему значение
,
которое сравнивается с
.
5. Использую
один из известных методов поиска минимума
функции двух переменных и составленную
заранее программу, найти оптимальные
параметры скользящего среднего и
экспоненциального фильтров и
среднеквадратичные ошибки фильтрации.
При этом конкретному сочетанию параметров
фильтра соответствует спектральная
плотность ошибки S
ε
(ω)
,
определяемая формулой (1), а по ней находят
значение
после численного интегрирования.
6. Ввести в ЭВМ программы фильтрации, определить экспериментально среднеквадратичную ошибку для оптимальных и отличных от оптимальных параметров фильтров, сравнить результаты с расчетными.
7. Провести сравнительный анализ эффективности различных алгоритмов фильтрации по следующим показателям: а) минимально достижимая среднеквадратичная ошибка; б) требуемый объем оперативной памяти; в) время счета на ЭВМ.
Отчет должен содержать: 1) структурную схему системы (см. рис. 5);
2) подпрограммы формирующих и синтезируемых фильтров;.
3) расчет оптимальных параметров фильтров и соответствующих им значений среднеквадратичной погрешности;
4) результаты анализа рассмотренных алгоритмов и выводы.
Стенд 6.2. Создание проекта 6.3. Исследование АСУТП на учебном лабораторном ... определенных целей своей деятельности. Целей деятельности...
И. О. Фамилия « » 20 г
ДокументРежима работы );. … […)[наименование режима работы ] ... по данным лабораторных анализов; 5) ... требования к АСУТП . Технологические процессы... обработку и анализ информации (сигналов , сообщений, документов и т. ... алгоритмы фильтрации и алгоритмы устранения шумов с целью ...
Интеллектуальная автоматика в курсовых и дипломных проектах
РефератПровод. целев . продук... сигналом HART, что позволяет встраивать его в системы АСУТП ... фильтрации существуют различные виды датчиков пыли. DT400G работает ... алгоритм ... химической промышленности. Технические средства и лабораторные работы / Г.И. Лапшенков, Л.М. ...
Рабочая программа учебной дисциплины " автоматизация технологических процессов"
Рабочая программа... ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Целью ... основные компоненты АСУТП – контроллеры... представления сигналов в... исправление ошибок, фильтрация сообщений, ... алгоритмов и программ, дискуссии, выполнение контрольных работ . Лабораторные занятия. Лабораторные ...
Санкт-Петербургский государственный политехнический университет
Факультет технической кибернетики
Кафедра автоматики и вычислительной техники
ОТЧЕТ
по лабораторной работе №3
Исследование рекуррентных алгоритмов цифровой фильтрации
сигналов методом усреднения.
Выполнил студент гр. 4081/1 Волыхин А.Н.
Проверил: Ярмийчук В.Д.
Санкт-Петербург
1. Цели работы
Цель работы – знакомство с различными алгоритмами цифровой фильтрации сигналов методом усреднения и исследование эффективности их работы в условиях, когда на полезный сигнал наложена помеха типа «белого шума» с нулевым математическим ожиданием и
регулируемой дисперсией.
2. Методика исследования
Исследуются фильтры на основе следующих алгоритмов:
1). Рекуррентный алгоритм усреднения с бесконечной памятью.
Назначение фильтра - выделения постоянной составляющей полезного сигнала на фоне помех.
Выражение для него в рекуррентной форме:
При он обеспечивает 
.
2). Рекуррентный алгоритм усреднения с постоянным коэффициентом коррекции.
Назначение фильтра - выделения низкочастотных составляющих входного полезного сигнала на фоне помех.
Если принять , то можно записать это уравнение в форме:
Откуда при переходе к непрерывному времени получим передаточную функцию фильтра:
То есть фильтр, построенный по такому алгоритму, при малых значениях эквивалентен
аналоговому низкочастотному фильтру первого порядка.
3). Рекуррентный алгоритм усреднения с конечной памятью.
Назначение фильтра - выделения низкочастотных составляющих входного сигнала
с использованием усреднения только ограниченного числа его последних измерений.
Эффективность цифровой фильтрации, то есть меру снижения уровня помех на выходе фильтра по сравнению с уровнем помех на входе, будем оценивать следующим образом:
Где: - зашумленный сигнал на входе фильтра
Полезный сигнал на входе фильтра
Сигнал на выходе фильтра
Полезный сигнал на выходе фильтра
3. Схема эксперимента (см. приложение 1)
4. Результаты эксперимента
4.1. Рекуррентный алгоритм усреднения с бесконечной памятью
Исследования проводились при постоянном периоде дискретизации, равном 100 мс.
Рассмотрим, как меняется эффективность работы фильтра от величины постоянного входного сигнала (X).
Алгоритмы аналитической градуировки, цифровой фильтрации методами экспоненциального сглаживания и скользящего среднего. Робастные, высокочастотные, полосовые и режекторные фильтры. Дискретное дифференцирование, интегрирование и усреднение измеряемых величин.
Фильтр - это система или сеть, избирательно меняющая форму сигнала (амплитудно-частотную или фазово-частотную характеристику). Основными целями фильтрации являются улучшение качества сигнала (например, устранение или снижение помех), извлечение из сигналов информации или разделение нескольких сигналов, объединенных ранее для, например, эффективного использования доступного канала связи.
Цифровой фильтр - любой фильтр, обрабатывающий цифровой сигнал с целью выделения и/или подавления определённых частот этого сигнала.
В отличие от цифрового, аналоговый фильтр имеет дело с аналоговым сигналом, его свойства недискретны (непрерывны), соответственно передаточная функция зависит от внутренних свойств составляющих его элементов.
Упрощенная блок-схема цифрового фильтра реального времени с аналоговым входом и выходом приведена на рис. 8а. Узкополосный аналоговый сигнал периодически выбирается и конвертируется в набор цифровых выборок, x(n), n = 0,1, Цифровой процессор производит фильтрацию, отображая входную последовательность х(n) в выходную у(n) согласно вычислительному алгоритму фильтра. ЦАП конвертирует отфильтрованный цифровым образом выход в аналоговые значения, которые затем проходят аналоговую фильтрацию для сглаживания и устранения нежелательных высокочастотных компонентов.
Рис. 8а. Упрощенная блок схема цифрового фильтра
Работа цифровых фильтров обеспечивается, в основном программными средствами, поэтому они оказываются значительно более гибкими в применении по сравнению с аналоговыми. С помощью цифровых фильтров можно реализовать такие передаточные функции, которые очень трудно получить обычными методами. Тем не менее, цифровые фильтры пока не могут заменить аналоговые во всех ситуациях, поэтому сохраняется потребность в наиболее популярных аналоговых фильтрах.
Для того чтобы разобраться в сущности цифровой фильтрации, прежде всего необходимо определить математические операции, которые осуществляются над сигналами в цифровой фильтрации (ЦФ). Для этого полезно вспомнить определение аналогового фильтра.
Линейный аналоговый фильтр представляет собой четырёхполюсник, в котором реализуется линейное преобразование входного сигнала в выходной сигнал . Математически это преобразование описывается обыкновенным линейным дифференциальным уравнением N -го порядка
где и - коэффициенты, являющиеся либо константами, либо функциями времени t ; - порядок фильтра.
Линейный дискретный фильтр представляет собой дискретный вариант аналогового линейного фильтра, в котором квантованной (дискретизированной) является независимая переменная - время (- шаг дискретизации). При этом целочисленная переменная может рассматриваться как «дискретное время», а сигналы и как функции «дискретного времени» (так называемые решётчатые функции).
Математически функция линейного дискретного фильтра описывается линейным разностным уравнением вида
где и - отсчёты входного и выходного сигналов соответственно; и - коэффициенты алгоритма фильтрации, представляющие собой либо константы, либо функции «дискретного времени» n .
Алгоритм фильтрации (2.2) может быть реализован средствами аналоговой либо цифровой техники. В первом случае отсчёты входных и выходных сигналов по уровню не квантуются и могут принимать любые значения в диапазоне их изменения (т.е. имеют мощность континуума). Во втором случае отсчёты сигналов и подвергаются квантованию по уровню, в связи с чем они могут принимать только «разрешённые» значения, определяемые разрядностью цифровых устройств. Кроме того, квантованные отсчёты сигналов кодируются, поэтому арифметические операции, выполняемые в выражении (2.2), осуществляются не над самими сигналами, а над их двоичными кодами. Из-за квантования по уровню сигналов и , а также коэффициентов и равенство в алгоритме (2.2) не может быть точным и выполняется лишь приближённо.
Таким образом, линейный ЦФ представляет собой цифровое устройство, приближённо реализующее алгоритм фильтрации (2.2).
Главный недостаток аналоговых и дискретных фильтров заключается в том, что при изменении условий работы (температуры, давления, влажности, питающих напряжений, старения элементов и т.д.) их параметры изменяются. Это приводит к неконтролируемой погрешности выходного сигнала, т.е. к низкой точности обработки.
Погрешность выходного сигнала в ЦФ не зависит от условий работы (температуры, давления, влажности, питающих напряжений и т.п.), а определяется лишь шагом квантования сигналов и алгоритмом работы самого фильтра, т.е. внутренними причинами. Эта погрешность является контролируемой , её можно уменьшить, увеличивая число разрядов для представления отсчётов цифровых сигналов. Именно этим обстоятельством обусловлены основные преимущества цифровых фильтров перед аналоговыми и дискретными (высокая точность обработки сигналов и стабильность характеристик ЦФ).
ЦФ по типу алгоритма обработки сигналов подразделяются на стационарные и нестационарные , рекурсивные и нерекурсивные , линейные и нелинейные .
Главной характеристикой ЦФ является алгоритм фильтрации , по которому осуществляется реализация ЦФ. Алгоритмом фильтрации описывается работа ЦФ любого класса без ограничений, в то время как другие характеристики имеют ограничения на класс ЦФ, например, некоторые из них пригодны для описания только стационарных линейных ЦФ.
Рис. 11. Классификация ЦФ
На рис. 11 приведена классификация цифровых фильтров (ЦФ). В основу классификации положен функциональный принцип, т.е. ЦФ подразделяются исходя из реализуемых ими алгоритмов, а не с учетом каких-либо схемотехнических особенностей.
ЦФ частотной селекции. Это наиболее известный, хорошо изученный и апробированный на практике тип ЦФ. С алгоритмической точки зрения ЦФ частотной селекции решают следующие задачи:
· выделение (подавление) одной априорно заданной полосы частот; в зависимости от того, какие частоты подавляются, а какие - нет, различают фильтр нижних частот (ФНЧ), фильтр верхних частот (ФВЧ), полосовой фильтр (ПФ) и режекторный фильтр (РФ);
· разделение по отдельным частотным каналам равноценных и равномерно распределенных по всему частотному диапазону спектральных компонент сигнала с линейчатым спектром; различают ЦФ с прореживанием по времени и с прореживанием по частоте; а поскольку основным методом уменьшения аппаратурных затрат является каскадирование более низкоизбирательных, чем исходный, наборов ПФ, то многоступенчатая пирамидальная структура, получаемая в результате, была названа ЦФ типа "преселектор - селектор";
· разделение по отдельным частотным каналам спектральных составляющих сигнала, чей спектр состоит из субполос различной ширины, неравномерно распределенных в пределах рабочего диапазона фильтра.
Различают фильтр с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтр) или фильтр с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтр).
Оптимальные (квазиоптимальные) ЦФ. Этот тип фильтров применяется тогда, когда требуется оценить те или иные физические величины, характеризующие состояние системы, подверженной случайным возмущениям. Современная тенденция - использование достижений теории оптимальной фильтрации и реализация устройств, минимизирующих средний квадрат ошибки оценивания. Они подразделяются на линейные и нелинейные в зависимости от того, какими уравнениями описывается состояние системы.
Если уравнения состояния линейны, то применяется оптимальный ЦФ Калмана, если же уравнения состояния системы нелинейны, то применяются различные многоканальные ЦФ, качество работы которых улучшается с ростом числа каналов.
Существуют различные частные случаи, когда алгоритмы, реализуемые оптимальными (квазиоптимальными) ЦФ могут быть упрощены без существенной потери точности: это, во-первых, случай линейной стационарной системы, приводящий к известному ЦФ Винера; во-вторых случай наблюдений лишь в один фиксированный момент времени, приводящий к ЦФ, оптимальному по критерию максимума отношения сигнал/шум (ОСШ); в-третьих случай уравнений состояния системы близких к линейным приводящий к нелинейным фильтрам первогои второго порядка и др.
Важной проблемой является также обеспечение нечувствительности всех вышеперечисленных алгоритмов к отклонению статистических характеристик системы от заранее заданных; синтез таких ЦФ, называемых робастными.
Адаптивные ЦФ. Сущность адаптивной цифровой фильтрации состоит в следующем: для обработки входного сигнала (обычно адаптивные ЦФ строят одноканальными) используется обычный КИХ-фильтр; однако ИХ этого фильтра не остается раз и навсегда заданной, как это было при рассмотрении ЦФ частотной селекции; она также не изменяется по априорно заданному закону, как это было при рассмотрении ЦФ Калмана; ИХ корректируется с поступлением каждого нового отсчета таким образом, чтобы свести к минимуму среднеквадратическую ошибку фильтрации на данном шаге. Под адаптивным алгоритмом понимается рекуррентная процедура пересчета вектора отсчетов ИХ на предыдущем шаге в вектор “новых” отсчетов ИХ для следующего шага.
Эвристические ЦФ. Возможны ситуации, когда применение корректных с математической точки зрения процедур обработки является нецелесообразным, поскольку приводит к неоправданно большим аппаратурным затратам. Эвристический подход заключается (от греч. и лат. Evrica - «отыскиваю», «открываю») в использовании знания, изучающая творческое, неосознанное мышление человека. Эвристика связана с психологией, физиологией высшей нервной деятельности, кибернетикой и другими науками. Эвристический подход “порожден” стремлением разработчиков уменьшить аппаратурные затраты и получившие широкое распространение несмотря на отсутствие строгого математического обоснования. Это так называемые ЦФ с авторскими схемными решениями, одним из наиболее известных примеров является т.н. медианный фильтр.
Физически осуществимые ЦФ, которые работают в реальном масштабе времени, для формирования выходного сигнала в дискретный момент времени могут использовать следующие данные: а) значение входного сигнала в момент отсчета, а также некоторое число «прошлых» входных отсчетов некоторое число предшествующих отсчетов выходного сигнала Целые числа тип определяют порядок ЦФ. Классификация ЦФ проводится по-разному в зависимости от того, как используется информация о прошлых состояниях системы.
Трансверсальные ЦФ.
Так принято называть фильтры, которые работают в соответствии с алгоритмом
где - последовательность коэффициентов.
Число является порядком трансверсального цифрового фильтра. Как видно из формулы (15.58), трансверсальный фильтр проводит взвешенное суммирование предшествующих отсчетов входного сигнала и не использует прошлые отсчеты выходного сигнала. Применив z-преобразование к обеим частям выражения (15.58), убеждаемся, что
Отсюда следует, что системная функция
является дробно-рациональной функцией z, имеющей -кратный полюс при и нулей, координаты которых определяются коэффициентами фильтра.
Алгоритм функционирования трансверсального ЦФ поясняется структурной схемой, приведенной на рис. 15.7.
Рис. 15.7. Схема построения трансверсального ЦФ
Основными элементами фильтра служат блоки задержки отсчетных значений на один интервал дискретизации (прямоугольники с символами ), а также масштабные блоки, выполняющие в цифровой форме операции умножения на соответствующие коэффициенты. С выходов масштабных блоков сигналы поступают в сумматор, где, складываясь, образуют отсчет выходного сигнала.
Вид представленной здесь схемы объясняет смысл термина «трансверсальный фильтр» (от англ. transverse - поперечный).
Программная реализация трансверсального ЦФ.
Следует иметь в виду, что структурная схема, изображенная на рис. 15.7, не является принципиальной схемой электрической цепи, а служит лишь графическим изображением алгоритма обработки сигнала. Используя средства языка ФОРТРАН, рассмотрим фрагмент программы, реализующей трансверсальную цифровую фильтрацию.
Пусть в оперативной памяти ЭВМ образованы два одномерных массива длиной М ячеек каждый: массив с именем X, в котором хранятся значения входного сигнала, и массив с именем А, содержащий значения коэффициентов фильтра.
Содержимое ячеек массива X меняется каждый раз с получением нового отсчета входного сигнала.
Предположим, что этот массив заполнен предыдущими отсчетами входной последовательности, и рассмотрим ситуацию, возникающую в момент прихода очередного отсчета, которому в программе просвоено имя S. Данный отсчет должен разместиться в ячейке с номером 1, но лишь после того, как предыдущая запись будет сдвинута на одну позицию вправо, т. е. в сторону запаздывания.
Элементы сформированного таким образом массива X почленно умножаются на элементы массива А и результат заносится в ячейку с именем Y, где накапливается отсчетное значение выходного сигнала. Ниже приводится текст программы трансверсальной цифровой фильтрации:
Импульсная характеристика. Вернемся к формуле (15.59) и вычислим импульсную характеристику трансверсального ЦФ, осуществив обратное z-преобразование. Легко видеть, что каждое слагаемое функции дает вклад, равный соответствующему коэффициенту , смещенному на позиций в сторону запаздывания. Таким образом, здесь
К такому выводу можно прийти и непосредственно, рассматривая структурную схему фильтра (см. рис. 15.7) и полагая, что на его вход подан «единичный импульс» .
Важно отметить, что импульсная характеристика трансверсального фильтра содержит конечное число членов.
Частотная характеристика.
Если в формуле (15.59) провести замену переменной то получим частотный коэффициент передачи
При заданном шаге дискретизации А можно реализовать самые разнообразные формы АЧХ, подбирая должным образом весовые коэффициенты фильтра.
Пример 15.4. Исследовать частотные характеристики трансверсального цифрового фильтра 2-го порядка, выполняющего усреднение текущего значения входного сигнала и двух предшествующих отсчетов по формуле
Системная функция этого фильтра
Рис. 15.8. Частотные характеристики трансверсального ЦФ из примера 15.4: а - АЧХ; б - ФЧХ
откуда находим частотный коэффициент передачи
Элементарные преобразования приводят к следующим выражениям для АЧХ в ФЧХ данной системы:
Соответствующие графики представлены на рис. 15.8, а, б, где по горизонтальным осям отложена величина - фазовый угол интервала дискретизации при текущем значении частоты.
Предположим, например, что , т. е. на один период гармонического входного колебания приходится шесть отсчетов. При этом входная последовательность будет иметь вид
(абсолютные значения отсчетов не играют роли, поскольку фильтр линеен). Используя алгоритм (15.62), находим выходную последовательность:
Можно заметить, что ей отвечает гармонический выходной сигнал той же частоты, что и на входе, с амплитудой, равной от амплитуды входного колебания и с начальной фазой, смещенной на 60° в сторону запаздывания.
Рекурсивные ЦФ.
Этот вид цифровых фильтров характерен тем, что для формирования выходного отсчета используются предыдущие значения не только входного, и выходного сигнала:
(15.63)
причем коэффициенты , определяющие рекурсивную часть алгоритма фильтрации, не равны нулю одновременно. Чтобы подчеркнуть различие структур двух видов ЦФ, трансверсальные фильтры называют также нерекурсивными фильтрами.
Системная функция рекурсивного ЦФ.
Выполнив z-преобразование обеих частей рекуррентного соотношения (15.63), находим, что системная функция
описывающая частотные свойства рекурсивного ЦФ, имеет на z-плоскости полюсов. Если коэффициенты рекурсивной части алгоритма вещественны, то эти полюсы либо лежат на вещественной оси, либо образуют комплексно-сопряженные пары.
Структурная схема рекурсивного ЦФ.
На рис. 15.9 изображена схема алгоритма вычислений, проводимых в соответствии с формулой (15.63). Верхняя часть структурной схемы отвечает трансверсальной (нерекурсивной) части алгоритма фильтрации. Для ее реализации требуется в общем случае масштабных блоков (операций умножения) и ячеек памяти, в которых хранятся входные отсчеты.
Рекурсивной части алгоритма соответствует нижняя часть структурной схемы. Здесь используются последовательных значений выходного сигнала, которые в процессе работы фильтра перемещаются из ячейки в ячейку путем сдвига.
Рис. 15.9. Структурная схема рекурсивного ЦФ
Рис. 15.10. Структурная схема канонического рекурсивного ЦФ 2-го порядка
Недостатком данного принципа реализации является потребность в большом числе ячеек памяти, отдельно для рекурсивной и нерекурсивной частей. Более совершенны канонические схемы рекурсивных ЦФ, в которых используется минимально возможное количество ячеек памяти, равное наибольшему из чисел . В качестве примера на рис. 15.10 изображена структурная схема канонического рекурсивного фильтра 2-го порядка, которой отвечает системная функция
Для того чтобы убедиться в том, что эта система реализует заданную функцию, рассмотрим вспомогательный дискретный сигнал на выходе сумматора 1 и запишем два очевидных уравнения:
(15.67)
Выполнив -преобразование уравнения (15.66), находим, что
С другой стороны, в соответствии с выражением (15.67)
Объединив соотношения (15.68) и (15.69), приходим к заданной системной функции (15.65).
Устойчивость рекурсивных ЦФ.
Рекурсивный ЦФ является дискретным аналогом динамической системы с обратной связью, поскольку в ячейках памяти хранятся значения его предшествующих состояний. Если заданы некоторые начальные условия, т. е. совокупность значений то в отсутствие входного сигнала фильтр будет образовывать элементы бесконечной последовательности играющей роль свободных колебаний.
Цифровой фильтр называется устойчивыу, если возникающий в нем свободный процесс, есть невозрастающая последовательность, т. е. значения при не превышают некоторого положительного числа М независимо от выбора начальных условий.
Свободные колебания в рекурсивном ЦФ на основании алгоритма (15.63) являются решением линейного разностного уравнения
По аналогии с принципом решения линейных дифференциальных уравнений будем искать решение (15.70) в виде показательной функции
с неизвестным пока значением . Подставив (15.71) в (15.70) и сократив на обший множитель, убеждаемся, что а является корнем характеристического уравнения
На основании (15.64) это уравнение в точности совпадает с уравнением, которому удовлетворяют полюсы системной функции рекурсивного ЦФ.
Пусть система корней уравнения (15.72) найдена. Тогда общее решение разностного уравнения (15.70) будет иметь вид
Коэффициенты должны быть подобраны так, чтобы удовлетворялись начальные условия.
Если все полюсы системной функции т. е. числа по модулю не превосходят единицы, располагаясь внутри единичного круга с центром в точке то на основании (15.73) любой свободный процесс в ЦФ будет описываться членами убывающих геометрических прогрессий и фильтр будет устойчив. Ясно, что практически применяться могут только устойчивые цифровые фильтры.
Пример 15.5. Исследовать устойчивость рекурсивного цифрового фильтра 2-го порядка с системной функцией
Характеристическое уравнение
имеет корни
Кривая, описываемая уравнением на плоскости коэффициентов есть граница, выше которой полюсы системной функции вещественны, а ниже - комплексно сопряжены.
Для случая комплексно-сопряженных полюсов поэтому одной из границ области устойчивости является прямая 1.
Рис. 15.11. Область устойчивости рекурсивного фильтра 2-го порядка (полюсы фильтра комплексно сопряжены в области, отмеченной цветом)
Рассматривая вещественные полюсы при имеем условие устойчивости в виде