Классическая теория синтеза пассивных линейных электрических цепей с сосредоточенными параметрами предусматривает два этапа:
Отыскание или подбор подходящей рациональной функции, которая могла бы являться характеристикой физически осуществимой цепи и вместе с тем быть достаточно близкой к заданной характеристике;
Отыскание структуры и элементов цепи, реализующей выбранную функцию.
Первый этап называется аппроксимацией заданной характеристики, второй - реализацией цепи.
Аппроксимация, основанная на применении различных ортогональных функций, не вызывает принципиальных трудностей. Значительно сложнее задача отыскания оптимальной структуры цепи по заданной (физически осуществимой) ее характеристике. Эта задача не имеет однозначного решения. Одну и ту же характеристику цепи можно реализовать множеством способов, различающихся по схеме, по числу входящих в нее элементов и сложности подбора параметров этих элементов, но чувствительности характеристик цепи к нестабильности параметров и т. д.
Различают синтез цепей в частотной области и во временной. В первом случае задается передаточная функция К (iω), а во втором - импульсная характеристика g(t). Поскольку эти две функции связаны между собой парой преобразований Фурье, синтез цепи во временной области можно свести к синтезу в частотной и наоборот. Все же синтез по заданной импульсной характеристике имеет свои особенности, играющие большую роль в импульсной технике при формировании импульсов с определенными требованиями к их параметрам (крутизне фронта, выбросу, форме вершины и т. д.).
В данной главе рассматривается синтез четырехполюсников в частотной области. Следует указать, что по синтезу линейных электрических цепей в настоящее время существует обширная литература, а изучение общей теории синтеза не входит в задачу курса "Радиотехнические цепи и сигналы". Здесь рассматриваются лишь некоторые частные вопросы синтеза четырехполюсников, отображающие особенности современных радиоэлектронных цепей. К таким особенностям в первую очередь относятся:
Применение активных четырехполюсников;
Тенденция к исключению индуктивностей из избирательных цепей (в микроэлектронном исполнении);
Возникновение и быстрое развитие техники дискретных (цифровых) цепей.
Известно, что передаточная функция четырехполюсника К (iω) однозначно определяется своими нулями и полюсами на р-плоскости. Поэтому выражение "синтез по заданной передаточной функции" эквивалентно выражению "синтез по заданным нулям и полюсам передаточной функции". Существующая теория синтеза четырехполюсников рассматривает цепи, передаточная функция которых обладает конечным числом нулей и полюсов, иными словами, цепи, состоящие из конечного числа звеньев с сосредоточенными параметрами. Из этого вытекает вывод о неприменимости классических методов синтеза цепей к фильтрам, согласованным с заданным сигналом. Действительно, входящий в передаточную функцию подобного фильтра множитель e iωt 0 [см. (12.16)] не реализуется конечным числом звеньев с сосредоточенными параметрами. Излагаемый в данной главе материал ориентирован на четырехполюсники с небольшим числом звеньев. Такие четырехполюсники характерны для фильтров нижних частот, верхних частот, заградительных фильтров и т. д., широко применяемых в радиоэлектронных устройствах.
Электрические фильтры – это четырёхполюсники, которые с пренебрежимо малым ослаблением ∆A пропускают колебания в определённых диапазонах частот f 0 …f 1 (полосах пропускания) и практически не пропускают колебания в других диапазонах f 2 …f 3 (полосах задерживания, или непропускания).
Рис. 2.1.1. Фильтр нижних частот (ФНЧ). Рис. 2.1.2. Фильтр верхних частот (ФВЧ).
Существует множество различных типов реализации электрических фильтров: пассивные LC-фильтры (схемы содержат индуктивные и емкостные элементы), пассивные RC-фильтры (схемы содержат резистивные и емкостные элементы), активные фильтры (схемы содержат операционные усилители, резистивные и емкостные элементы), волноводные, цифровые фильтры и другие. Среди всех типов фильтров особое положение занимают LC-фильтры, так как широко применяются в телекоммуникационном оборудовании в различных частотных диапазонах. Для фильтров этого типа существует хорошо разработанная методика синтеза, а синтез фильтров других типов во многом использует эту
методику. Поэтому в курсовой работе основное внимание уделяется синтезу
Рис. 2.1.3. Полосовой фильтр (ПФ). пассивных LC-фильтров.
Задачей синтеза электрического фильтра является определение схемы фильтра с минимально возможным числом элементов, частотная характеристика которой удовлетворяла бы заданным техническим требованиям. Часто требования предъявляются к характеристике рабочего ослабления . На рисунках 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3 требования к рабочему ослаблению заданы уровнями максимально допустимого ослабления в полосe пропускания А и уровнями минимально допустимого ослабления в полосе непропускания As. Задача синтеза разбивается на два этапа: задачу аппроксимации требований к рабочему ослаблению физически реализуемой функцией и задачу реализации найденной аппроксимирующей функции электрической цепью.
Решение задачи аппроксимации заключается в нахождении такой функции минимально возможного порядка, которая, во-первых, удовлетворяет заданным техническим требованиям к частотной характеристике фильтра, и, во-вторых, удовлетворяет условиям физической реализуемости.
Решение задачи реализации заключается в определении электрической цепи, частотная характеристика которой совпадает с функцией, найденной в результате решения задачи аппроксимации.
2.1. ОСНОВЫ СИНТЕЗА ФИЛЬТРОВ ПО РАБОЧИМ ПАРАМЕТРАМ.
Рассмотрим некоторые соотношения, характеризующие условия передачи энергии через электрический фильтр. Как правило, электрический фильтр используется в условиях, когда со стороны его входных зажимов подключаются устройства, которые на эквивалентной схеме могут быть представлены в виде активного двухполюсника с параметрами E(jω), R1, а со стороны выходных зажимов подключаются устройства, представляемые на эквивалентной схеме резистивным сопротивлением R2. Схема включения электрического фильтра представлена на рисунке 2.2.1.
На рисунке 2.2.2 представлена схема, на которой вместо фильтра и сопротивления R2 к эквивалентному генератору (с параметрами E(jω), R1) подключается нагрузочное сопротивление, величина которого равна сопротивлению генератора R1. Как известно, генератор отдаёт максимальную мощность в резистивную нагрузку, если сопротивление нагрузки будет равно сопротивлению внутренних потерь генератора R1.
Прохождение сигнала через четырёхполюсник характеризуется рабочей передаточной функцией T(jω). Рабочая передаточная функция позволяет сравнить мощность S 0 (jω), отдаваемую генератором в нагрузку R1 (согласованную с его собственными параметрами), с мощностью S 2 (jω), поступающую в нагрузку R2 после прохождения через фильтр:
Аргумент рабочей передаточной функции arg{T(jω)} характеризует фазовые соотношения между э.д.с. E(jω) и выходным напряжением U 2 (jω). Он называется рабочей фазовой постоянной передачи (обозначается греческой буквой «бета»):
При передаче энергии через четырёхполюсник изменения мощности, напряжения и тока по абсолютной величине характеризуются модулем рабочей передаточной функции . При оценке избирательных свойств электрических фильтров используется мера, определяемая логарифмической функцией. Эта мера – рабочее ослабление (обозначается греческой буквой «альфа»), которая связана с модулем рабочей передаточной функцией соотношениями:
, (Нп); или (2.2)
, (дБ). (2.3)
В случае использования формулы (2.2), рабочее ослабление выражается в неперах, а при использовании формулы (2.3) – в децибелах.
Величина называется рабочей постоянной передачи четырёхполюсника (обозначается греческой буквой «гамма»). Рабочая передаточная функция может быть представлена с использованием рабочего ослабления и рабочей фазы в виде:
В случае, когда сопротивление внутренних потерь генератора R1 и сопротивление нагрузки R2 являются резистивными, мощности S 0 (jω) и S 2 (jω) являются активными. Прохождение мощности через фильтр удобно характеризовать с помощью коэффициента передачи мощности, определяемого как отношение максимальной мощности P max , получаемой от генератора согласованной с ним нагрузкой, к мощности P 2 , поступающей в нагрузку R2:
Реактивный четырёхполюсник не потребляет активной мощности. Тогда активная мощность P 1 , отдаваемая генератором, равна мощности P 2 , потребляемой нагрузкой:
Значение модуля входного тока выразим: , и подставим в (2.5).
С помощью алгебраических преобразований представим (2.5) в виде:
Представим числитель правой части уравнения в виде:
Левая часть уравнения (2.6) представляет собой величину, обратную коэффициенту передачи мощности:
Следующее выражение представляет собой коэффициент отражения мощности от входных зажимов четырёхполюсника:
Коэффициент отражения (напряжения или тока) от входных зажимов четырёхполюсника, равный
характеризует согласование входного сопротивления фильтра с сопротивлением R1.
Пассивный четырёхполюсник не может давать усиление по мощности, то есть .
Поэтому для таких цепей целесообразно пользоваться вспомогательной функцией , определяемой выражением:
Представим рабочее ослабление в иной, более удобной для решения задачи синтеза фильтров, форме:
Очевидно, характер частотной зависимости рабочего ослабления связан с частотной зависимостью функции , называемой функцией фильтрации: нули и полюсы функции фильтрации совпадают с нулями и полюсами ослабления.
На основании формул (2.7) и (2.9) можно представить коэффициент отражения мощности от входных зажимов четырёхполюсника:
Перейдём к записи операторных изображений по Лапласу, учитывая, что p = jω, а также что квадрат модуля комплексной величины выражается, например . Выражение (2.10) в операторной форме имеет вид
Операторные выражения , , являются рациональными функциями комплексной переменной «p», и поэтому их можно записать в виде
где , , - являются полиномами, например:
Из формулы (2.11), учитывая (2.12), можно получить соотношение между полиномами:
На этапе решения задачи аппроксимации определяется выражение функции фильтрации, то есть определяются полиномы h(p), w(p); из уравнения (2.13) можно найти полином v(p).
Если выражение (2.8) представить в операторной форме , то можно получить функцию входного сопротивления фильтра в операторной форме:
Условия физической реализуемости заключаются в следующем:
1. v(p) – должен быть полиномом Гурвица, то есть его корни располагаются в левой половине плоскости комплексной переменной p=α+j·Ω (требование устойчивости цепи);
2. w(p) – должен быть или чётным, или нечётным полиномом (для ФНЧ w(p) – чётный, чтобы не было полюса ослабления при ω=0; для ФВЧ w(p) – нечётный);
3. h(p) – любой полином с вещественными коэффициентами.
2.2. НОРМИРОВАНИЕ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ И ЧАСТОТЕ.
Численные значения параметров элементов L, C, R и граничных частот реальных фильтров могут принимать, в зависимости от технических условий, самые различные значения. Использование в вычислениях одновременно малых и больших величин приводит к значительной погрешности вычислений.
Известно, что характер частотных зависимостей фильтра не зависит от абсолютных величин коэффициентов функций, описывающих эти зависимости, а определяется лишь их соотношениями. Значения коэффициентов определяются значениями параметров L, C, R фильтров. Поэтому нормирование (изменение в одинаковое число раз) коэффициентов функций ведёт к нормированию величин параметров элементов фильтра. Таким образом, вместо абсолютных значений сопротивлений элементов фильтра берут их относительные величины, отнесённые к сопротивлению нагрузки R2 (или R1).
Кроме того, если нормировать значения частот относительно граничной частоты полосы пропускания (чаще всего используется именно это значение), то это ещё более сузит разброс величин, используемых в вычислениях, и повысит точность вычислений. Нормированные значения частот записываются в виде и являются безразмерными величинами, а нормированное значение граничной частоты полосы пропускания .
Для примера рассмотрим сопротивление последовательно соединённых элементов L, C, R:
Нормированное сопротивление: .
Введём в последнее выражение нормированные значения частот: где нормированные параметры равны: .
Истинные (денормированные) значения параметров элементов определяются:
Изменяя значения f 1 и R2, можно из исходной схемы получать новые схемы устройств, работающих в других диапазонах частот и при других нагрузках. Введение нормирования позволило создать каталоги фильтров, что во многих случаях сводит сложную проблему синтеза фильтра к работе с таблицами.
2.3. ПОСТРОЕНИЕ ДУАЛЬНЫХ СХЕМ.
Дуальными величинами, как известно, являются сопротивление и проводимость. Для каждой схемы электрического фильтра может быть найдена дуальная ей схема. При этом входное сопротивление первой схемы будет равно входной проводимости второй, умноженной на коэффициент . Важно отметить, что рабочая передаточная функция Т(р) для обеих схем будет одинаковой. Пример построения дуальной схемы показан на рисунке 2.3.
Такие преобразования часто оказываются удобными, так как позволяют уменьшить число индуктивных элементов. Как известно, катушки индуктивности, по сравнению с конденсаторами, являются громоздкими и низкодобротными элементами.
Нормированные параметры элементов дуальной схемы определяются (при =1):
2.4. АППРОКСИМАЦИЯ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК.
На рисунках 2.1.1 – 2.1.3 представлены графики функций рабочего ослабления фильтра нижних частот (ФНЧ), фильтра верхних частот (ФВЧ), полосового фильтра (ПФ). На этих же графиках показаны уровни требуемого ослабления. В полосе пропускания f 0 …f 1 задаётся максимально допустимое значение ослабления (так называемая неравномерность ослабления) ΔА; в полосе непропускания f 2 …f 3 задаётся минимально допустимое значение ослабления A S ; в переходной области частот f 1 …f 2 требования к ослаблению не предъявляются.
Прежде чем приступить к решению задачи аппроксимации производят нормирование требуемой характеристики рабочего ослабления по частоте, например для ФНЧ и ФВЧ:
Искомая аппроксимирующая функция должна удовлетворять условиям физической реализуемости и достаточно точно воспроизводить требуемую частотную зависимость рабочего ослабления. Существуют различные критерии оценки погрешности приближения, на которых основаны различные типы аппроксимации. В задачах аппроксимации амплитудно-частотных характеристик наиболее часто используют критерии оптимальности Тейлора и Чебышёва.
2.4.1. Аппроксимация по критерию Тейлора.
В случае применения критерия Тейлора искомая аппроксимирующая функция имеет следующий вид (нормированное значение):
где - квадрат модуля функции фильтрации;
– порядок полинома (принимает целочисленное значение);
ε – коэффициент неравномерности. Его величина связана с величиной ∆А - неравномерностью ослабления в полосе пропускания (рис. 2.4). Поскольку на граничной частоте полосы пропускания Ω 1 =1, , следовательно
Фильтры с частотными зависимостями ослабления (2.16) называются фильтрами с максимально плоскими характеристиками ослабления , или фильтрами с характеристиками Баттерворта , впервые применившего аппроксимацию по критерию Тейлора при решении задачи синтеза фильтров.
Порядок аппроксимирующей функции определяется на основании условия, что на граничной частоте полосы непропускания Ω 2 рабочее ослабление превышает минимально допустимое значение:
Откуда . (2.19)
Поскольку порядок полинома должен быть целым числом, получившееся значение
Рис.2.4. округляется до ближайшего большего
целого значения.
Выражение (2.18) представим в операторной форме, используя преобразование jΩ→ :
Найдём корни полинома : , откуда
K = 1, 2, … , NБ (2.20)
Корни принимают комплексно-сопряжённые значения и располагаются на окружности радиуса . Для формирования полинома Гурвица надо использовать только те корни, которые располагаются в левой половине комплексной плоскости:
На рисунке 2.5 показан пример размещения в комплексной плоскости корней полинома 9-го порядка, имеющих отрицательную реальную составляющую. Квадрат модуля
Рис. 2.5. функции фильтрации, согласно (2.16), равен:
Полином с вещественными коэффициентами; - полином чётного порядка. Таким образом, условия физической реализуемости выполняются.
2.4.2. Аппроксимация по критерию Чебышёва.
При использовании для аппроксимации по Тейлору степенных полиномов Ω 2· N Б получается хорошее приближение к идеальной функции вблизи точки Ω=0, но для того чтобы обеспечить достаточную крутизну аппроксимирующей функции при Ω>1 приходится увеличивать порядок полинома (а, следовательно, и порядок схемы).
Лучшую крутизну в переходной области частот можно получить, если в качестве аппроксимирующей выбрать не монотонную функцию (рис. 2.4), а функцию колеблющуюся в диапазоне значений 0 … ΔА в полосе пропускания при 0<Ω<1 (рис. 2.7).
Наилучшая аппроксимация по критерию Чебышёва обеспечивается применением полиномов Чебышёва P N (x) (рис. 2.6). В интервале -1 < x < 1 отклонения аппроксимирующих функций от нулевого уровня равны ±1 и чередуются по знаку.
В интервале -1 < x < 1 полином Чебышёва порядка N описывается выражением
P N (x) = cos(N·arccos(x)), (2.21)
при N=1 P 1 (x) = cos(arccos(x)) = x,
при N=2 P 2 (x) = cos(2·arccos(x)) = 2· cos 2 (arccos(x)) – 1 = 2·x 2 – 1,
при N≥3 полином P N (x) можно вычислить, пользуясь рекуррентной формулой
P N +1 (x) = 2·х·P N (x) - P N -1 (x).
При x > 1 значения полиномов Чебышёва монотонно возрастают и описывается выражением
P N (x) = ch(N·Arch(x)). (2.22)
Функция рабочего ослабления (рис. 2.7) описывается выражением
где ε – коэффициент неравномерности, определяемый по формуле (2.17);
Квадрат модуля функции фильтрации;
P N (Ω) – полином Чебышёва порядка N.
Рабочее ослабление в полосе непропускания должно превышать значение A S:
Подставив в это неравенство выражение (2.22) для значений частот полосы непропускания, решим его относительно величины N = NЧ - порядка полинома Чебышёва:
Порядок полинома должен быть целым числом, поэтому получившееся значение необходимо округлить до ближайшего большего целого значения.
Квадрат модуля рабочей передаточной функции (нормированное значение)
Поскольку нули ослабления (они же – корни полинома Гурвица) располагаются в полосе пропускания, в это выражение надо подставить выражение (2.21) для значений частот полосы пропускания.
Выражение (2.25) представим в операторной форме, используя преобразование jΩ→ :
Корни полинома определяются по формуле:
K = 1, 2, … , NЧ, (2.26)
Комплексно-сопряжённые корни в комплексной плоскости располагаются на эллипсе. Полином Гурвица образуют только корни с отрицательной реальной составляющей:
Квадрат модуля функции фильтрации ; поэтому полином находим с применением рекуррентной формулы:
Является полиномом с вещественными коэффициентами; является полиномом чётной степени. Условия физической реализуемости выполняются.
2.5. РЕАЛИЗАЦИЯ АППРОКСИМИРУЮЩЕЙ ФУНКЦИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПЬЮ.
Один из методов решения задачи реализации основан на разложении в цепную дробь функции входного сопротивления
Процедура разложения описана в литературе: , . Кратко пояснить разложение в цепную дробь можно следующим образом.
Функция представляет собой отношение полиномов. Сначала выполняется деление полинома числителя на полином знаменателя; затем полином, который был делителем, становится делимым, а полученный остаток становится делителем, и так далее. Полученные при делении частные образуют цепную дробь. Для схемы на рисунке 2.8 цепная дробь имеет вид (при =1):
Если необходимо, можно от полученной
схемы перейти к дуальной.
2.6. МЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧАСТОТНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.
Метод преобразования частотной переменной используется для синтеза ФВЧ и ПФ. Преобразование применяется только к нормированным частотам Ω.
2.6.1. Синтез ФВЧ . Сравнивая характеристики ФНЧ и ФВЧ на рисунках 2.9 и 2.10, можно заметить, что они взаимно обратные. Это означает, что если выполнить замену частотной переменной
в выражении характеристики ФНЧ, то получится характеристика ФВЧ. Например, для фильтра с характеристикой Баттерворта
Использование этого преобразования эквивалентно замене емкостных элементов на индуктивные и наоборот:
То есть
То есть .
Чтобы синтезировать ФВЧ с использованием метода преобразования частотной переменной, необходимо выполнить следующее.
Рис. 2.9. ФНЧ с нормированной Рис. 2.10. ФВЧ с нормированной
характеристикой. характеристикой.
1. Выполнить нормирование частотной переменной .
2. Применить формулу (2.27) для преобразования частотной переменной
Пересчитанные требования к характеристике рабочего ослабления представляют собой требования к рабочему ослаблению так называемого ФНЧ-прототипа.
3. Синтезировать ФНЧ-прототип.
4. Применить формулу (2.27) для перехода от ФНЧ-прототипа к требуемому ФВЧ.
5. Выполнить денормирование параметров элементов синтезированного ФВЧ.
2.6.2. Синтез ПФ . На рисунке 2.1.3. изображена симметричная характеристика рабочего ослабления полосового фильтра. Так называется характеристика, геометрически симметричная относительно средней частоты .
Чтобы синтезировать ПФ с использованием метода преобразования частотной переменной, необходимо выполнить следующее.
1. Для перехода от требуемой симметричной характеристики ПФ к нормированной характеристике ФНЧ-прототипа (и воспользоваться уже известной методикой синтеза), необходима замена частотной переменной (рисунок 2.11)
2.7. АКТИВНЫЕ ФИЛЬТРЫ.
Активные фильтры характеризуются отсутствием катушек индуктивности, так как свойства индуктивных элементов можно воспроизвести с помощью активных схем, содержащих активные элементы (операционные усилители), резисторы и конденсаторы. Такие схемы обозначаются: ARC-схемы. Недостатками катушек индуктивности являются низкая добротность (большие потери), большие габариты, высокая стоимость производства.
2.7.1. Основы теории ARC-фильтров . Для линейного четырёхполюсника (в том числе – линейного ARC-фильтра) соотношение между входным и выходным напряжением (в операторной форме) выражается передаточной функцией по напряжению:
где w(p) – чётный (К·р 0 для ФНЧ) или нечётный (для ФВЧ) полином,
v(p) – полином Гурвица порядка N.
Для ФНЧ передаточную функцию (нормированную величину) можно представить в виде произведения сомножителей
где К = Н U (0) = К2 1 ·К2 2 · … ·К2 (N /2) – значение функции H U (p) (для фильтра чётного порядка) при передаче постоянного напряжения (то есть при f=0 или, в операторной форме, при р=0);
сомножители в знаменателе образованы произведением комплексно-сопряжённых корней
в случае фильтра нечётного порядка имеется один сомножитель, образованный с использованием корня полинома Гурвица с реальным значением .
Каждый сомножитель передаточной функции может быть реализован активным фильтром (ARC) нижних частот второго или первого порядка. А вся заданная передаточная функция H U (p) – каскадным соединением таких четырёхполюсников (рисунок 2.13).
Активный четырёхполюсник на базе операционного усилителя обладает очень полезным свойством - его входное сопротивление гораздо больше, чем его выходное сопротивление. Подключение к четырёхполюснику в качестве нагрузки сопротивления очень большой величины (такой режим работы близок к режиму холостого хода) не оказывает влияния на характеристики самого четырёхполюсника.
Н U (р) = Н1 U (p) · H2 U (p) · … · Hk U (p)
Например, активный фильтр нижних частот 5-го порядка может быть реализован схемой, представляющей собой каскадное соединение двух четырёхполюсников второго порядка и одного четырёхполюсника первого порядка (рис. 2.14), а ФНЧ 4-го порядка – состоит из каскадного соединения двух четырёхполюсников второго порядка. Четырёхполюсники с большей величиной добротности подключаются первыми в тракт передачи сигнала; четырёхполюсник первого порядка (с наименьшей добротностью и наименьшей крутизной частотной характеристики) подключается последним.
2.7.2. Синтез ARC фильтра производится с использованием передаточной функции по напряжению (2.29). Нормирование по частоте производится относительно частоты среза f c . При частоте среза значение передаточной функции по напряжению меньше максимального Hmax в раз, а значение ослабления равно 3 дБ
Рис. 2.14. ARC фильтр нижних частот 5-го порядка.
Нормирование частотных характеристик производится относительно f c . Если решить уравнения (2.16) и (2.23) относительно частоты среза, то получим выражения
Для ФНЧ с характеристикой Баттерворта;
С характеристикой Чебышёва.
В зависимости от типа характеристики фильтра – Баттерворта или Чебышёва, - определяется порядок аппроксимирующей функции по формулам (2.19) или (2.26).
Корни полинома Гурвица определяются по формулам (2.20) или (2.26). Передаточная функция по напряжению для четырёхполюсника второго порядка может быть образована с использованием пары комплексно-сопряжённых корней, а, кроме того, может быть выражена через параметры элементов схемы (рис. 2.14). Анализ схемы и вывод выражения (2.31) не приводится. Аналогичным образом записывается выражение (2.32) для четырёхполюсника первого порядка.
Поскольку величина сопротивления нагрузки не влияет на характеристики активного фильтра, денормирование выполняется исходя из следующего. Сначала выбираются приемлемые значения резистивных сопротивлений (10 … 30 кОм). Затем определяются реальные значения параметров ёмкости; для этого в выражении (2.15) используется f c .
Лекция № 15.
Проектирование (синтез) линейных цифровых фильтров.
Под проектированием (синтезом) цифрового фильтра понимают выбор таких коэффициентов системной (передаточной) функции, при которых характеристики получающегося фильтра удовлетворяют заданным требованиям. Строго говоря, в задачу проектирования входит и выбор подходящей структуры фильтра (см. лекцию № 14) с учетом конечной точности вычислений. Это особенно актуально при реализации фильтров в аппаратурном виде (в виде специализированных БИС или цифровых сигнальных процессоров). Поэтому в целом проектирование цифрового фильтра состоит из следующих этапов:
- Решение задачи аппроксимации с целью определения коэффициентов фильтра и системной функции, удовлетворяющей конкретным требованиям.
- Выбор схемы построения фильтра, то есть преобразование системной функции в конкретную структурную схему фильтра.
- Оценка эффектов квантования, то есть эффектов, связанных с конечной точностью представления чисел в цифровых системах, обладающих конечной разрядностью.
- Проверка методами моделирования удовлетворяет ли полученный фильтр заданным требованиям.
Методы синтеза цифровых фильтров можно классифицировать по различным признакам:
- по типу получаемого фильтра:
- методы синтеза фильтров с конечной импульсной характеристикой;
- методы синтеза фильтров с бесконечной импульсной характеристикой;
- по наличию аналогового прототипа:
- методы синтеза с использованием аналогового прототипа;
- прямые методы синтеза (без использования аналогового прототипа).
На практике КИХ-фильтрам часто отдают предпочтение, для этого имеются следующие причины. Во-первых, КИХ-фильтры обеспечивают возможность точного вычисления выходного сигнала при ограниченном входном по свертке, не требующей усечения импульсной характеристики. Во-вторых, фильтры с конечной импульсной характеристикой могут иметь строго линейную ФЧХ в полосе пропускания, что позволяет проектировать фильтры с амплитудной характеристикой, не искажающей входные сигналы. В-третьих, КИХ-фильтры всегда устойчивы и, при введении соответствующей конечной задержки, физически реализуемы. Кроме того, КИХ-фильтры могут быть реализованы не только по нерекурсивным схемам, но и с использованием рекурсивных форм.
Отметим недостатки КИХ-фильтров:
- Для аппроксимации фильтров, частотные характеристики которых имеют острые срезы, требуется импульсная характеристика с большим числом отсчетов. Поэтому при использовании обычной свертки необходимо выполнять большой объем вычислений. Только разработка на основе высокоэффективного алгоритма БПФ методов быстрой свертки позволила КИХ-фильтрам успешно конкурировать с БИХ-фильтрами, имеющими острые срезы в частотной характеристике.
- Задержка в КИХ-фильтрах с линейной фазовой характеристикой не всегда равна целому числу интервалов дискретизации. В некоторых приложениях такая некратная задержка может вызвать определенные трудности.
Один из вариантов проектирования цифровых фильтров связан с заданной последовательностью отсчетов импульсной характеристики, которые используют для получения и анализа его частотной характеристики (частотного коэффициента передачи).
Получим условие, при котором нерекурсивный фильтр имеет строго линейную ФЧХ. Системная функция такого фильтра имеет вид:
, (15.1)
где коэффициенты фильтра являются отсчетами импульсной характеристики. Преобразование Фурье от является частотной характеристикой фильтра, периодической по частоте с периодом. Представим ее для действительной последовательности в виде: Получим условия, при которых импульсная характеристика фильтра будет обеспечивать строгую линейность его фазовой характеристики. Последнее означает, что фазовая характеристика должна иметь вид:
(15.2)
где постоянная фазовая задержка, выраженная через число интервалов дискретизации. Запишем частотную характеристику в виде:
(15.3)
Приравнивая действительные и мнимые части, получим:
, (15.4)
. (15.5)
Откуда:
. (15.6)
Существует два возможных решения уравнения (15.6). Одно (при) не представляет интереса, другое соответствует случаю. Перекрестно умножая члены уравнения (15.6), получим:
(15.7)
Поскольку уравнение (15.7) имеет вид ряда Фурье, то решение уравнения должно удовлетворять следующим условиям:
, (15.8)
и (15.9)
Из условия (15.8) следует, что для каждого существует только одна фазовая задержка, при которой может достигаться строгая линейность фазовой характеристики фильтра. Из (15.9) следует, что при заданном, удовлетворяющем условию (15.8), импульсная характеристика должна обладать вполне определенной симметрией.
Целесообразно рассмотреть использование условий (15.8) и (15.9) отдельно для случаев четного и нечетного. Если нечетное число, то целое число, то есть задержка в фильтре равна целому числу интервалов дискретизации. В этом случае центр симметрии приходится на отсчет. Если же четное число, то дробное число, и задержка в фильтре равна нецелому числу интервалов дискретизации. Например, для получаем, и центр симметрии импульсной характеристики лежит посредине между двумя отсчетами.
Значения коэффициентов импульсной характеристики используют для вычисления частотной характеристики КИХ-фильтров. Можно показать, что для симметричной импульсной характеристики с нечетным числом отсчетов выражение для действительной функции, принимающей положительные и отрицательные значения, имеет вид:
, (15.10)
где
Чаще всего при проектировании КИХ-фильтра исходят из требуемой (или желаемой) частотной характеристики с последующим вычислением коэффициентов фильтра. Существуют несколько методов расчета таких фильтров: метод проектирования с помощью окон, метод частотной выборки, метод расчета оптимального (по Чебышеву) фильтра. Рассмотрим идею проектирования методом окон на примере КИХ-фильтра нижних частот.
Прежде всего, задается желаемая частотная характеристика проектируемого фильтра. Например, возьмем идеальную непрерывную частотную характеристику ФНЧ с коэффициентом передачи, равным единице на низких частотах и равным нулю на частотах, превышающих некоторую частоту среза . Дискретным представлением идеального ФНЧ является периодическая характеристика, которая может быть задана отсчетами на интервале периодичности, равном частоте дискретизации. Определение коэффициентов фильтра низких частот методами обратного ДПФ (либо аналитическим способом, либо с помощью программы, реализующей обратное ДПФ) дает бесконечную в обе стороны последовательность отсчетов импульсной характеристики, которая имеет форму классической функции.
Для получения реализуемого нерекурсивного фильтра заданного порядка эта последовательность усекается из нее выбирается центральный фрагмент нужной длины. Простое усечение отсчетов импульсной характеристики соответствует использованию прямоугольного окна , задаваемого специальной функцией Из-за усечения отсчетов первоначально заданная частотная характеристика искажается, так как она представляет собой свертку в частотной области дискретной частотной характеристики и ДПФ функции окна:
, (15.11)
где ДПФ В результате в полосе пропускания частотной характеристики возникают пульсации, обусловленные боковыми лепестками.
Для ослабления перечисленных эффектов и прежде всего для уменьшения уровня лепестков в полосе задерживания усеченная импульсная характеристика умножается на весовую функцию (окно), плавно спадающую к краям. Таким образом, метод проектирования КИХ-фильтров с помощью окон представляет собой метод уменьшения разрывов окна путем использования окон, отличных от прямоугольного. При этом весовая функция (окно) должна обладать следующими свойствами:
- ширина главного лепестка частотной характеристики окна, содержащего по возможности большую часть общей энергии, должна быть малой;
- энергия в боковых лепестках частотной характеристики окна должна быстро уменьшаться при приближении к.
В качестве весовых функций используют окна Хэмминга, Кайзера, Блэкмена, Чебышева и др.
n1.docx
Министерство образования и науки Российской ФедерацииГосударственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Омский государственный технический университет»
АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СХЕМЫ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
Методические указания
к курсовому проектированию и СРС
Издательство ОмГТУ
2010
Составитель
И. В. Никонов
В методических указаниях представлен синтез и анализ электрической цепи с важными аналоговыми функциональными узлами радиотехники: электрическим фильтром и усилителем. Проводится анализ спектра входного сложного периодического сигнала, а также анализ сигнала на выходе электрической цепи (для линейного режима работы).
Предназначены для студентов специальностей 210401, 210402, 090104 и направления 21030062 дневной и заочной форм обучения, изучающих дисциплины «Основы теории цепей», «Электротехника и электроника».
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Омского государственного технического университета
© ГОУ ВПО «Омский государственный
Технический университет», 2010
1. Анализ технического задания. Основные этапы проектирования 5
2. Основные принципы и методы проектирования электрических
фильтров 6
2.1. Основные принципы проектирования фильтров 6
2.2. Методика синтеза фильтров по характеристическим параметрам 11
2.3. Методика синтеза фильтров по рабочим параметрам 18
2.4. Пример синтеза эквивалентной схемы электрического фильтра 25
3. Основные принципы и этапы расчета электрической схемы усилителя
напряжения 26
3.1.Основные принципы расчета электрических схем усилителей 26
3.2. Пример расчета схемы электрической принципиальной усилителя
на биполярном транзисторе 28
4. Основные принципы и этапы анализа спектра сложного
периодического сигнала 30
4.1. Принципы спектрального анализа 30
4.2. Расчетные формулы спектрального анализа 31
4.3. Пример анализа спектра входного сигнала 32
5. Анализ сигнала на выходе электрической цепи. Рекомендации
по разработке схемы электрической принципиальной 33
5.1. Анализ прохождения сигнала через электрическую цепь 33
6. Основные требования к содержанию, выполнению, защите
курсовой работы 35
6.1. Порядок и сроки выдачи задания на курсовое проектирование 35
6.3. Оформление графической части курсовой работы (проекта) 36
6.4. Защита курсовых проектов (работ) 38
Библиографический список 39
Приложения 40
Приложение А. Список сокращений и условных обозначений 40
Приложение Б. Варианты исходных данных для синтеза фильтра 41
Приложение В. Варианты исходных данных для расчета усилителя 42
Приложение Г. Варианты исходных данных для анализа спектра
сигнала 43
Приложение Д. Параметры транзисторов для схемы включения
ОЭ(ОИ) 45
Приложение Е. Бланк задания 46
ВВЕДЕНИЕ
Основными задачами электротехнических и радиотехнических дисциплин являются анализ и синтез электрических цепей и сигналов. В первом случае анализируются токи, напряжения, коэффициенты передачи, спектры при известных моделях, схемах, устройствах, сигналах. При синтезе решается обратная задача – разработка аналитических и графических моделей (схем) электрических цепей и сигналов. Если проводимые расчеты, разработка завершаются изготовлением конструкторской и технологической документации, изготовлением макетов или опытных образцов, то применяется термин проектирование
.
Первыми дисциплинами радиотехнических специальностей высших учебных заведений, в которых рассматриваются различные задачи анализа и синтеза, являются дисциплины «Основы теории электрических цепей» и «Электротехника и электроника». Основные разделы этих дисциплин:
– анализ в установившемся режиме линейных резистивных электрических цепей, линейных реактивных электрических цепей, в том числе резонансных и с негальваническими связями;
– анализ комплексных частотных характеристик электрических цепей;
– анализ линейных электрических цепей при сложных периодических воздействиях;
– анализ линейных электрических цепей при импульсных воздействиях;
– теория линейных четырехполюсников;
– анализ нелинейных электрических цепей;
– линейные электрические фильтры, синтез электрических фильтров.
Перечисленные разделы изучаются во время аудиторных занятий , однако важной частью учебного процесса является также курсовое проектирование. Тема курсовой работы (проекта) может соответствовать одному из изучаемых разделов, может быть комплексной, то есть включать в себя несколько разделов дисциплины, может быть предложена студентом.
В данных методических указаниях рассмотрены рекомендации по выполнению комплексной курсовой работы (проекта), в которой необходимо решить взаимосвязанные задачи синтеза и анализа для аналоговой электрической цепи.
1.
АНАЛИЗ ТЕХНИЧЕСКОГО ЗАДАНИЯ.
ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
В качестве комплексной курсовой работы (проекта) в данных методических указаниях предложена разработка электрических эквивалентных и принципиальных схем электрической цепи, содержащей электрический фильтр и усилитель, а также анализ спектра входного сигнала генератора импульсов и анализ «прохождения» входного сигнала к выходу устройства. Эти задачи являются важными, практически полезными, так как разрабатываются и анализируются широко применяемые в радиотехнике функциональные узлы.
Схема электрическая структурная всего устройства, для которого необходимо провести расчеты, приведена на рисунке 1. Варианты заданий для отдельных разделов расчетов приведены в приложениях Б, В, Г. Номера вариантов заданий соответствуют номерам студентов в списке группы, либо номер варианта формируется более сложным образом. При необходимости студенты могут самостоятельно задать дополнительные требования к проектированию, например, массогабаритные требования, требования к фазочастотным характеристикам и другие.
Генератор
импульсов
Аналоговый электрический фильтр
Аналоговый усилитель напряжения
Рис. 1
На рисунке 1 обозначены комплексные действующие значения входных и выходных электрических напряжений гармонической формы.
При курсовом проектировании необходимо решить следующие задачи:
А) синтезировать (разработать) любым методом схему электрическую эквивалентную, а затем – схему электрическую принципиальную на любых радиоэлементах. Провести расчеты ослабления и коэффициента передачи по напряжению, проиллюстрировать расчеты графиками;
Б) разработать схему электрическую принципиальную усилителя напряжения на любых радиоэлементах. Провести расчеты усилителя по постоянному току, проанализировать параметры усилителя в режиме малых переменных сигналов;
Г) проанализировать прохождение электрического напряжения от генератора импульсов через электрический фильтр и усилитель, проиллюстрировать анализ графиками амплитудного и фазового спектра выходного сигнала.
В этой последовательности рекомендуется проводить необходимые расчеты, а затем оформить их в виде разделов пояснительной записки. Расчеты необходимо выполнять с точностью не менее 5 %. Это следует учитывать при различных округлениях, приближенном анализе спектра сигнала, при выборе стандартных радиоэлементов, близких по номиналу к расчетным значениям.
2.1. Основные принципы проектирования фильтров
2.1.1. Основные требования к проектированию
Электрические фильтры – это линейные или квазилинейные электрические цепи, имеющие частотно-зависимые комплексные коэффициенты передачи полной мощности . При этом частотно-зависимым является также хотя бы один из двух коэффициентов передачи: по напряжению или по току . Вместо безразмерных коэффициентов передачи при анализе и синтезе фильтров широко применяется ослабление (), измеряемое в децибелах:
, (1)
где , , – модули коэффициентов передачи (в формуле (1) применяется десятичный логарифм).
Частотный диапазон, в котором ослабление () приближается к нулю, а коэффициент передачи полной мощности () приближается к единице, называется полосой пропускания (ПП). И наоборот, в частотном диапазоне, где коэффициент передачи мощности близок к нулю, а ослабление составляет несколько десятков децибел, находится полоса задерживания (ПЗ). Полосу задерживания в специальной литературе по электрическим фильтрам также называют полосой ослабления или полосой затухания. Между ПП и ПЗ находится переходная полоса частот. По расположению полосы пропускания в частотном диапазоне электрические фильтры относят к следующим типам:
ФНЧ – фильтр нижних частот, полоса пропускания находится на нижних частотах;
ФВЧ – фильтр верхних частот, полоса пропускания находится на верхних частотах;
ПФ – полосовой фильтр, полоса пропускания находится в относительно узком частотном диапазоне;
РФ – режекторный фильтр, полоса задерживания находится в сравнительно узком частотном диапазоне.
Реальный электрический фильтр может быть выполнен на различных радиокомпонентах: катушках индуктивности и конденсаторах, избирательных усилительных устройствах, избирательных пьезоэлектрических и электромеханических устройствах, волноводах и многих других. Существуют справочники по расчету фильтров на вполне определенных радиокомпонентах. Однако более универсальным является следующий принцип: вначале разрабатывается эквивалентная схема на идеальных LC-элементах, а затем идеальные элементы пересчитываются в любые реальные радиокомпоненты. При таком пересчете и разрабатывается схема электрическая принципиальная, перечень элементов, выбираются стандартные или проектируются самостоятельно необходимые радиокомпоненты. Наиболее простым вариантом подобного расчета является разработка принципиальной схемы реактивного фильтра с конденсаторами и катушками индуктивности, так как принципиальная схема в этом случае подобна эквивалентной.
Но и при таком общем универсальном расчете существует несколько различающихся между собой методов синтеза эквивалентной схемы LC-фильтра:
– синтез в согласованном режиме из одинаковых Г-, Т-, П-образных звеньев . Этот метод также называют синтезом по характеристическим параметрам или синтезом фильтров типа “k”. Достоинства : простые расчетные формулы; рассчитанное ослабление (неравномерность ослабления) в полосе пропускания () принимается равным нулю. Недостаток : в этом методе синтеза используются различные приближения, на самом же деле согласование во всей полосе пропускания получить невозможно. Поэтому у фильтров, рассчитанных этим методом, ослабление в полосе пропускания может быть более трех децибел;
– полиномиальный синтез . В этом случае требуемый коэффициент передачи мощности аппроксимируется полиномом, то есть синтезируется вся схема, а не отдельные звенья. Этот метод также называют синтезом по рабочим параметрам или синтезом по справочникам нормированных ФНЧ. При использовании справочников, рассчитывается порядок фильтра, выбирается эквивалентная схема ФНЧ, удовлетворяющая требованиям задания. Достоинства : в расчетах учитываются возможные несогласования и отклонения параметров радиоэлементов, ФНЧ легко преобразуются в фильтры других типов. Недостаток : необходимо пользоваться справочниками или специальными программами;
– синтез по импульсным или переходным характеристикам. Основан на взаимосвязи временных и частотных характеристик электрических цепей через различные интегральные преобразования (Фурье, Лапласа, Карсона и т. д.). Например, импульсная характеристика () выражается через передаточную характеристику () с помощью прямого преобразования Фурье:
Этот метод нашел применение при синтезе различных трансверсальных фильтров (фильтров с задержками), например цифровых, акустоэлектронных, для которых разработать электрические схемы проще по импульсным, чем по частотным характеристикам. В курсовой работе при разработке схем фильтров рекомендуется применять метод синтеза по характеристическим или рабочим параметрам.
Итак, в работе, касающейся синтеза электрического фильтра, необходимо одним из методов разработать схему электрическую эквивалентную на идеальных реактивных элементах, а затем схему электрическую принципиальную на любых реальных радиоэлементах.
В задании к курсовому проектированию в части, касающейся синтеза электрического фильтра (приложение Б), могут быть приведены следующие данные:
– тип синтезируемого фильтра (ФНЧ, ФВЧ, ПФ, РФ);
– – активные сопротивления внешних цепей, с которыми полностью или частично должен быть согласован фильтр в полосе пропускания;
– – граничная частота полосы пропускания фильтра;
– – граничная частота полосы задерживания фильтра;
– – средняя частота фильтра (для ПФ и РФ);
– – ослабление фильтра в полосе пропускания (не более);
– – ослабление фильтра в полосе задерживания (не менее);
– – полоса пропускания ПФ или РФ;
– – полоса задерживания ПФ или РФ;
– – коэффициент прямоугольности ФНЧ, ФВЧ;
– – коэффициент прямоугольности ПФ, РФ.
При необходимости студенты могут самостоятельно выбрать дополнительные данные или требования к проектированию.
2.1.2. Нормирование и частотные преобразования
При синтезе эквивалентных и принципиальных схем фильтров целесообразно применять нормирование и частотные преобразования. Это позволяет уменьшить количество разнотипных расчетов и проводить синтез, взяв за основу фильтр нижних частот. Нормирование заключается в следующем. Вместо проектирования на заданные рабочие частоты и сопротивления нагрузки, проектируются фильтры на нормированное сопротивление нагрузки и нормированные частоты . Нормирование частот осуществляется, как правило, относительно частоты . . При таком нормировании частота , а частота . При нормировании вначале разрабатывается эквивалентная схема с нормированными элементами , а затем эти элементы пересчитываются к заданным требованиям с помощью денормирующих множителей:
Возможность применения нормирования при синтезе электрических цепей следует из того, что вид требуемых передаточных характеристик электрической цепи при этой операции не изменяется, они лишь переносятся на другие (нормированные) частоты.
Например, для схемы делителя напряжения, показанной на рисунке 2, коэффициент передачи по напряжению аналогичен как при заданных радиоэлементах и рабочей частоте, так и при нормированных величинах – при применении нормирующих множителей.
Рис. 2
Без нормирования:
, (5)
с нормированием:
. (6)
В выражении (6), в общем случае, нормирующие множители могут быть произвольными действительными числами.
Дополнительное применение частотных преобразований позволяет существенно упростить синтез ФВЧ, ПФ, РФ. Так, рекомендуемая последовательность синтеза ФВЧ, при применении частотных преобразований, следующая:
– графические требования к ФВЧ нормируются (вводится ось нормированных частот );
– производится частотное преобразование требований к ослаблению за счет преобразования частот:
– проектируется ФНЧ с нормированными элементами;
– ФНЧ преобразуется в ФВЧ с нормированными элементами;
– элементы денормируются в соответствии с формулами (3), (4).
– графические требования к ПФ заменяются на требования к ФНЧ из условия равенства их полос пропускания и задерживания;
– синтезируется схема фильтра нижних частот;
– применяется обратное частотное преобразование для получения схемы полосового фильтра включением в ветви ФНЧ дополнительных реактивных элементов для образования резонансных контуров.
– графические требования к РФ заменяются на требования к ФВЧ из условия равенства их полос пропускания и задерживания;
– синтезируется схема фильтра верхних частот, непосредственно или с использованием прототипа – фильтра нижних частот;
– схема ФВЧ преобразуется в схему режекторного фильтра, включением в ветви ФВЧ дополнительных реактивных элементов.
2.2. Методика синтеза фильтров
2.2.1. Основные положения синтеза по характеристическим параметрам
Обоснование основных расчетных соотношений этого метода синтеза следующее.
Рассматривается линейный четырехполюсник, для его описания используется система -параметров:
где – напряжение и ток на входе четырехполюсника, – напряжение и ток на выходе четырехполюсника.
Определяются коэффициенты передачи для произвольного (согласованного или несогласованного) режима:
где – сопротивление нагрузки (в общем случае комплексное).
Для произвольного режима вводится постоянная передачи (), ослабление (), фаза ():
. (11)
Ослабление в неперах определяется выражением
, (12)
а в децибелах – выражением
В несогласованном режиме входные, выходные и передаточные характеристики четырехполюсника называются рабочими параметрами, а в согласованном режиме – характеристическими. Значения согласующих входного и выходного сопротивлений на заданной рабочей частоте определяются из уравнений четырехполюсника (8):
В согласованном режиме, с учетом выражений (14), (15), характеристическая постоянная передачи определяется:
С учетом соотношений для гиперболических функций
, (17)
(18)
определяется взаимосвязь между характеристическими параметрами согласованного режима и элементами электрической схемы (-параметрами). Выражения имеют вид
Выражения (19), (20) характеризуют согласованный режим произвольного линейного четырехполюсника. На рисунке 3 показана схема произвольного
Г-образного звена, -параметры которой, в соответствии с выражениями (8), определяются:
Рис. 3
При согласованном включении Г-образного звена выражения (19), (20) преобразуются к виду:
, (21)
. (22)
Если в продольной и поперечной ветвях Г-образной схемы находятся разнотипные реактивные элементы, то схема является электрическим фильтром.
Анализ формул (21), (22) для этого случая позволяет получить методику синтеза фильтров по характеристическим параметрам. Основные положения этой методики:
– фильтр проектируется из одинаковых, включенных каскадно, согласованных в полосе пропускания друг с другом и с внешними нагрузками звеньев (например, звеньев Г-типа);
– ослабление в полосе пропускания () принимается равным нулю, так как во всей полосе пропускания фильтр считается согласованным;
– требуемые величины внешних активных сопротивлений () для согласованного режима определяются через сопротивления «ветвей» Г-образного звена по приближенной формуле
– граничная частота полосы пропускания () определяется из условия
– ослабление звена () на граничной частоте полосы задерживания () определяется (в децибелах) по формуле
; (25)
– количество одинаковых Г-звеньев, включаемых каскадно, определяется выражением:
2.2.2. Последовательность синтеза ФНЧ (ФВЧ)
по характеристическим параметрам
Расчетные формулы получены из основных положений методики синтеза по характеристическим параметрам, приведенных в п. 2.2.1 данных методических указаний. В частности, формулы (27), (28) для определения значений элементов звена получены из выражений (23), (24). При синтезе по характеристическим параметрам последовательность расчетов для ФНЧ и ФВЧ следующая:
А) рассчитываются номиналы идеальных индуктивности и емкости Г-звена фильтра по заданным значениям сопротивлений нагрузки, генератора и значению граничной частоты полосы пропускания:
где – значения сопротивлений нагрузки и генератора, – значение граничной частоты полосы пропускания. График требований к ослаблению и схема Г-образного звена ФНЧ приведены на рисунках 4 а, б . На рисунках 5 а, б приведены требования к ослаблению и схема Г-образного звена ФВЧ.
Рис. 4
Рис. 5
б) рассчитывается ослабление звена () в децибелах на граничной частоте полосы задерживания () по заданному значению коэффициента прямоугольности (). Для ФНЧ:
Для фильтра верхних частот:
. (30)
В расчетах по формулам (29), (30) применяется натуральный логарифм;
В) рассчитывается количество звеньев () по заданному значению гарантированного ослабления на границе полосы задерживания, в соответствии с формулой (26):
Значение округляется до ближайшего большего целого значения;
Г) рассчитывается ослабление фильтра в децибелах для нескольких значений частот в полосе задерживания (расчетное ослабление в полосе пропускания, без учета тепловых потерь, в этом методе считается равным нулю). Для фильтра нижних частот:
. (31)
Для фильтра верхних частот:
; (32)
д) анализируются тепловые потери (). Для приближенного расчета тепловых потерь по низкочастотному прототипу вначале определяются на частоте резистивные сопротивления реальных катушек индуктивности () при самостоятельно выбранных значениях добротности (). Катушки индуктивности, в дальнейшем, в схеме электрической принципиальной, будут введены вместо идеальных индуктивностей (конденсаторы считаются более высокодобротными и их резистивные потери не учитываются). Расчетные формулы:
. (34)
Ослабление фильтра в децибелах, с учетом тепловых потерь, определяется:
а модуль коэффициента передачи по напряжению () определяется из соотношения, связывающего его с ослаблением фильтра:
Е) по результатам расчетов по формулам (35), (36) строятся графики ослабления и модуля коэффициента передачи по напряжению для ФНЧ или ФВЧ;
Ж) по справочникам радиоэлементов выбираются ближайшие по номиналу к идеальным элементам стандартные конденсаторы и катушки индуктивности для последующей разработки схемы электрической принципиальной и перечня элементов всей электрической цепи. В случае отсутствия стандартных катушек индуктивностей нужного номинала необходимо их разработать самостоятельно. На рисунке 6 показаны основные размеры простой цилиндрической катушки с однослойной намоткой, необходимые для ее расчета.
Рис. 6
Число витков такой катушки с ферромагнитным сердечником (феррит, карбонильное железо) определяется из выражения
где – число витков, – абсолютная магнитная проницаемость, – относительная магнитная проницаемость материала сердечника,
– длина катушки, , где – радиус основания катушки.
2.2.3. Последовательность синтеза ПФ (РФ)
по характеристическим параметрам
На рисунках 7 а, б
и 8 а, б
приведены графики требований к ослаблению и простейшие Г-образные звенья, соответственно, для полосового и режекторного фильтров.
Рис. 7
Рис. 8
Синтез ПФ и РФ рекомендуется проводить, используя расчеты фильтров-прототипов с такой же полосой пропускания и задерживания. Для ПФ прототипом является фильтр нижних частот, а для РФ – фильтр верхних частот. Методика синтеза следующая:
А) на первом этапе синтеза применяется частотное преобразование, при котором графические требования к ослаблению ПФ пересчитываются в требования к ослаблению ФНЧ, а графические требования к ослаблению РФ пересчитываются в требования к ослаблению ФВЧ:
Б) по рассмотренной ранее методике синтеза ФНЧ и ФВЧ (пункты а–е
п. 2.2.2) разрабатывается схема электрическая, эквивалентная ФНЧ, для синтеза ПФ, или ФВЧ – для синтеза РФ. Для ФНЧ или ФВЧ строятся графики ослабления и коэффициента передачи по напряжению;
В) схема ФНЧ преобразуется в схему полосового фильтра преобразованием продольных ветвей в последовательные колебательные контуры и поперечных ветвей в параллельные колебательные контуры за счет подключения добавочных реактивных элементов. Схема ФВЧ преобразуется в схему режекторного фильтра преобразованием продольных ветвей в параллельные колебательные контуры и поперечных ветвей в последовательные колебательные контуры за счет подключения добавочных реактивных элементов. Добавочные реактивные элементы для каждой ветви ФНЧ (ФВЧ) определяют по значению заданной средней частоты полосового или режекторного фильтра () и рассчитанным значениям реактивных элементов ветвей ФНЧ (ФВЧ), используя известное выражение для резонансных контуров:
Г) для схем ПФ или РФ разрабатываются или выбираются по справочникам радиоэлементов конденсаторы и катушки индуктивности по той же методике, которая рассматривалась ранее в п. 2.2.2 (пункт ж) данных методических указаний;
Д) графики ослабления и коэффициента передачи по напряжению ФНЧ (ФВЧ) пересчитываются в графики ПФ (РФ) в соответствии с соотношениями между частотами этих фильтров. Например, для преобразования графиков ФНЧ к ПФ:
, (41)
где – частоты, соответственно, выше и ниже средней частоты полосового фильтра. По этим же формулам пересчитываются графики фильтра верхних частот в графики режекторного фильтра.
2.3. Методика синтеза фильтров по рабочим параметрам
2.3.1. Основные принципы синтеза по рабочим параметрам
(полиномиального синтеза)
В данном методе синтеза так же, как и при синтезе по характеристическим параметрам, задаются требования к типу проектируемого фильтра, активному сопротивлению нагрузки, ослаблению или коэффициенту передачи мощности в полосе пропускания и задерживания. Однако учитывается, что входное и выходное сопротивления фильтра изменяются в полосе пропускания. В этой связи, фильтр синтезируется в несогласованном режиме, то есть по рабочим параметрам, что в исходных данных отражается требованием . Метод основан на обязательном расчете для любых типов фильтров низкочастотного фильтра – прототипа (фильтра нижних частот). В расчетах используется нормирование () и частотные преобразования.
Эквивалентная схема фильтра разрабатывается не из отдельных одинаковых звеньев, а сразу полностью, обычно в виде схемы цепочной структуры. На рисунке 9 показан вид П-образной цепочной схемы фильтра нижних частот, а на рисунке 10 – вид Т-образной схемы такого же фильтра с ненормированными элементами.
Рис. 9
Рис. 10
Основные этапы расчетов, на которых основан данный синтез, следующие:
А) аппроксимация – замена графических требований к коэффициенту передачи мощности аналитическим выражением, например отношением полиномов по степеням , что соответствует формулам частотных характеристик реальных реактивных фильтров;
Б) переход к операторной форме записи частотных характеристик (замена переменной на переменную в аналитическом выражении, аппроксимирующем коэффициент передачи мощности);
В) переход к выражению для входного сопротивления фильтра, используя взаимосвязь коэффициента передачи мощности, коэффициента отражения и входного сопротивления фильтра:
В выражении (44) применяется лишь один коэффициент отражения , который соответствует устойчивой электрической цепи (полюса этого коэффициента не имеют положительной действительной части);
Г) разложение аналитического выражения для входного сопротивления, полученного из (44), на сумму дробей или в цепную дробь для получения эквивалентной схемы и значений элементов.
Полиномиальный синтез в практических разработках обычно проводится с использованием справочников по фильтрам, в которых выполнены расчеты для данного метода синтеза. В справочниках приведены аппроксимирующие функции, эквивалентные схемы и нормированные элементы фильтров нижних частот. В большинстве случаев в качестве аппроксимирующих функций применяются полиномы Баттерворта и Чебышева.
Ослабление фильтра нижних частот с аппроксимирующей функцией Баттерворта описывается выражением:
где – порядок фильтра (положительное целое число, численно равное количеству реактивных элементов в эквивалентной схеме фильтра).
Порядок фильтра определяется выражением
В таблицах 1, 2 приведены значения нормированных реактивных элементов при аппроксимации Баттерворта, рассчитанные для разных порядков фильтра нижних частот (для схем, аналогичных схемам на рисунках 9, 10).
Таблица 1
Значения нормированных элементов ФНЧ Баттерворта П-образной схемы
| | | | | | | | |
| 1 | 2 | ||||||
| 2 | 1,414 | 1,414 | |||||
| 3 | 1 | 2 | 1 | ||||
| 4 | 0,765 | 1,848 | 1,848 | 0,765 | |||
| 5 | 0,618 | 1,618 | 2 | 1,618 | 0,618 | ||
| 6 | 0,518 | 1,414 | 1,932 | 1,932 |