Линейной называется программа, все операторы которой выполняются последовательно, в том порядке, в котором они записаны. Это самый простой вид программ.
Переменные
Переменная - это величина, которая во время работы программы может -
изменять свое значение. Все переменные, используемые в программе, должны быть описаны в разделе описания переменных, начинающемся со служебного слова var.
Для каждой переменной задается ее имя и тип, например:
var number: integer; х, у: real; option: char;
Имя переменной определяет место в памяти, по которому находится значение переменной. Имя дает программист. Оно должно отражать смысл хранимой величины и быть легко распознаваемым.
Тип переменных выбирается исходя из диапазона и требуемой точности представления данных.
При объявлении можно присвоить переменной некоторое начальное значение, т.е. инициализировать ее. Под инициализацией понимается задание значения, выполняемое до начала работы программы. Инициализированные переменные описываются после ключевого слова const:
const number: integer = 100; x: real = 0.02; option: char = "ю";
По умолчанию все переменные, описанные в главной программе, обнуляются.
Выражения
Выражение - это правило вычисления значения. В выражении участвуют -
операнды, объединенные знаками операций. Операндами выражения могут быть константы, переменные и вызовы функций. Операции выполняются в определенном порядке в соответствии с приоритетами, как и в математике. Для изменения порядка выполнения операций используются круглые скобки, уровень их вложенности практически не ограничен.
Результатом выражения всегда является значение определенного типа, который определяется типами операндов. Величины, участвующие в выражении, должны быть совместимых типов.
- 1. Унарная операция not, унарный минус -, взятие адреса @.
- 2. Операции типа умножения:* / div mod and shl shr.
- 3. Операции типа сложения: + - or xor.
- 4. Операции отношения: = о = in.
Функции, используемые в выражении, вычисляются в первую
Примеры выражений:
t + sin (х)/2 * х -результат имеет вещественный тип; а
(х > 0) and (у
Структура программы
Программа на ПАСКАЛЕ состоит из необязательного заголовка, разделов описании и раздела операторов:
program имя; {заголовок) разделы описаний begin раздел операторов end. (* программа заканчивается точкой *)
Программа может содержать комментарии, заключенные в фигурные скобки {} или в скобки вида (* *).
Общая структура программы приведена на рис. 2.1.
В разделе операторов записываются исполняемые операторы программы. Ключевые слова begin и end не являются операторами, а служат для их объединения в так называемый составной оператор, или блок. Блок может записываться в любом месте программы, где допустим обычный оператор.
Разделы описаний бывают нескольких видов: описание модулей, констант, типов, переменных, меток, процедур и функций.
Модуль - это подключаемая к программе библиотека ресурсов (подпрограмм, констант и т.п.).
Рис. 2.1.
Раздел описания модулей, если он присутствует, должен быть первым. Описание начинается с ключевого слова uses, за которым через запятую перечисляются все подключаемые к программе модули, как стандартные, так и собственного изготовления, например: uses crt, graph, my_module;
Количество и порядок следования остальных разделов произвольны, ограничение только одно: любая величина должна быть описана до ее использования. Признаком конца раздела описания является начало следующего раздела. В программе может быть несколько однотипных разделов описаний, но для упрощения структуры программы рекомендуется группировать все однотипные описания в один раздел.
В разделе описания переменных необходимо определить все переменные, которые будут использоваться в основной программе.
Раздел описания констант служит, для того чтобы вместо значений констант можно было использовать в программе их имена. Есть и еще одно применение раздела описания констант: в нем описываются переменные, которым требуется присвоить значение до начала работы программы:
const weight: real = 61.5; n = 10;
Раздел описания меток начинается с ключевого слова label, за которым через запятую следует перечисление всех меток, встречающихся в программе. Метка - это либо имя, либо положительное число, не превышающее 9999. Метка ставится перед любым исполняемым оператором и отделяется от него двоеточием. Пример описания меток: label 1, 2, error;
Метки служат для организации перехода на конкретный оператор с помощью оператора безусловного перехода goto.
Процедуры ввода-вывода Любая программа при вводе исходных - данных и выводе результатов взаимодействует с внешними устройствами. Совокупность стандартных устройств ввода и вывода, т.е. клавиатуры и экрана дисплея, называется консолью.
Ввод с клавиатуры. Для ввода с клавиатуры определены следующие процедуры: read и readln: read (список); readln [(список)];
В скобках указывается список имен переменных через запятую. Квадратные скобки указывают на то, что список может отсутствовать. Например:
read (a, b, с); readln (у); readln;
ВНИМАНИЕ
Вводить можно целые, вещественные, символьные и строковые величины. Вводимые значения должны разделяться любым количеством пробельных символов (пробел, табуляция, перевод строки).
Ввод значения каждой переменной выполняется так:
- ? значение переменной выделяется как группа символов, расположенных между разделителями;
- ? эти символы преобразуются во внутреннюю форму представления, соответствующую типу переменной;
- ? значение записывается в ячейку памяти, определяемую именем переменной.
Кроме этого, процедура readln после ввода всех значений выполняет переход на следующую строку исходных данных. Процедура readln без параметров просто ожидает нажатия клавиши Enter.
Особенность ввода символов и строк состоит в том, что пробельные символы в них ничем не отличаются от всех остальных, поэтому разделителями являться не могут.
Вывод на экран. При выводе выполняется обратное преобразование: из внутреннего представления в символы, выводимые на экран. Для этого в языке определены стандартные процедуры write и writeln: write (список); writeln [(список)];
Процедура write выводит указанные в списке величины на экран, а процедура writeln вдобавок к этому еще и переводит курсор на следующую строку. Процедура writeln без параметров просто переводит курсор на следующую строку.
Выводить можно величины логических, целых, вещественных, символьного и строкового типов. В списке могут присутствовать не только имена переменных, но и выражения, а также их частный случай - константы. Кроме того, для каждого выводимого значения можно задавать его формат, например: writeln (а:4, Ь:6:2);
После имени переменной а через двоеточие указано количество отводимых под нее позиций, внутри которых значение выравнивается по правому краю. Для b указано две форматные спецификации, означающие, что под эту переменную отводится всего шесть позиций, причем две из них - под дробную часть.
Линейной называется программа, являющаяся записью линейного алгоритма. В такой программе все операторы выполняются строго последовательно, т.е. после выполнения каждого из них (кроме END) ЭВМ автоматически переходит к выполнению следующего за ним оператора.
Составление простейших программ
Простейшими будем называть линейные программы, не содержащие массивов. Составление таких программ требует знания ранее рассмотренных операторов, понимания их соответствия блокам схемы алгоритма и производится согласно такому несложному правилу:
рассматриваем блоки схемы алгоритма (считаем , что она дана) по порядку , начиная с первого, и для каждого из них записываем соответствующий ему оператор Бейсика, т.е.
для блока Начало - оператор REM с названием программы;
для блока Ввод - оператор ввода;
для блока Процесс - оператор присваивания;
для блока Вывод - оператор вывода;
для блока Останов - оператор END.
В этом все правило!
Теперь приведем примеры конкретных программ рассматриваемого вида.
Задача 12.2
Вычислить периметр прямоугольного треугольника, если заданы длины его катетов.
Задача 12.3
Переставить значения величин А и В.
Решение задач 12.2 и 12.3. Эти задачи рассматривались в главе 10, поэтому на рис. 12.2 приведены без пояснений схема алгоритма и программа задачи 10.2, а на рис. 12.3 - то же для задачи 10.3.
На рис. 12.2 и 12.3 стрелками показано соответствие операторов программы блокам схемы алгоритма.
Приведем программы решения еще двух задач. Программа задачи 12.1 иллюстрирует использование величин различного типа. Программа задачи 12.2 демонстрирует организацию вывода данных на печатающее устройство.
Рис. 12.2
Задача 12.1
Вычислить значения У и Z по формулам:
где В и В - целые величины.
Решение
Исходные данные: Э%, В%, С, X, А(а).
Результат: Y,Z%.
Порядок выполнения операций здесь очевиден, поэтому сразу напишем программу:
- 10 REM ЗАДАЧА 1
- 20 PRINT "ВВЕСТИ D%, В%, С, X, А"
- 30 INPUT D%,В%, С, X, А 40 R$="HBAH0B, 10А КЛ"
- 50 Z%=2*D%-3*В%
- 60 Y=(3*ABS(X)+С:(1/3)+SIN(A)/COS(А))*Z%
- 70 PRINT "Z%=";Z%; "Y="; Y 80 PRINT R$
- 90 END
Задача 12.2
Вычислить значение функции У = Л 2 + В 1 и отпечатать (вывести на принтер) значения исходных данных и результатов.
Решение
Программа вычисления функции Y:
- 20 REM ВЫВОД НА ПЕЧАТЬ 30 PRINT "ВВЕСТИ А, В"
- 40 INPUT А, В 50 У=А Л 2+В Л 2
- 60 LPRINT "ДАННЫЕ:"," А=";А;" В=";В 70 LPRINT
- 80 LPRINT "РЕЗУЛЬТАТ:"," Y=";Y 90 END
Оператор в 30-й строке этой программы выводит текст на экран дисплея, а операторы 60-80 - на принтер. Оператор в 70-й строке печатает пустую строку на листе бумаги.
Линейные программы с массивами
Массивы в языке Бейсик. Напомним определение массива: массивом называется упорядоченная совокупность однородных величин, обозначенных каждая одним и тем же именем с различными целочисленными индексами, изменяющимися по порядку.
В Бейсике используются одно- и двумерные массивы (в QBASIC допустимы даже восьмимерные). Они, как и простые переменные, могут быть различных типов: целые, вещественные, текстовые (строковые) и т.д.
Внимание! В Бейсике отсутствуют операции обработки массивов в целом, т.е. операции вида «ввести массив Р(1:99)», которые мы привыкли использовать в главах 8 и 9. Для выполнения операции над массивом необходимо перечислить операции, выполняемые над каждым его элементом.
Рассмотрим общий вид элемента массива в Бейсике:
- - элемент одномерного массива: (к);
- - элемент двумерного массива: (i,j),
где - имя массива, должно отвечать тем же правилам, что и имя простой переменной;
к - индекс (номер) элемента одномерного массива, к
i ,j - индексы элемента двумерного массива (номера строки и столбца, на пересечении которых он находится), i > 0, j > 0. В QBASIC можно установить начальные значения k, i, j равными 1. Индексы k, i, j могут быть представлены любыми арифметическими выражениями. При вычислении выражения, представляющего индекс, в QBASIC результат округляется до ближайшего целого.
Примеры записи элементов массива:
Р$(0), С2(101) , X(4 б,5*К+1) , Т%(N/2, М) .
В схеме алгоритма те же элементы имели бы такие обозначения: Р 0 ,
С2ю1, X46,5?+i, T w /2>m-
Внимание! Если в программе используется массив, то он должен быть предварительно объявлен, т.е. ЭВМ должна быть сообщена информация о типе и размерах этого массива с помощью оператора DIM.
Пример: оператор DIM Р$(6), i_iB% (4,8) сообщает о наличии в программе
текстового Р(0:6) и целого В(0:4, 0:8) массивов.
Исходя из информации, содержащейся в операторе DIM, ЭВМ выделяет (резервирует) для каждого массива область памяти требуемого размера.
Общий вид оператора DIM:
В случае одномерного массива:
DIM (d) ,
В случае двумерного массива:
DIM (п, ш)
где DIM - имя оператора (от слова dimension - «размерность»); - имя массива; d, п, ш - размеры массива, т.е. d - номер последнего элемента одномерного массива; n(m) - номер последней строки (последнего столбца) двумерного массива.
Размер массива выражается в большинстве версий Бейсика {в том числе в QBASIC) целым числом или целой переменной.
Особенности записи оператора DIM:
- 1) в одном операторе DIM можно объявлять любое число массивов (см. пример);
- 2) оператор DIM рекомендуется помещать в начале программы;
- 3) не следует использовать в программе простую переменную и массив с одним и тем же именем.
Пример: оператор DIM D% (2), А (2,3), К$ (3) сообщает:
- массив D% - одномерный целый, содержащий элементы D%(0), D%(1), D%(2);
- массив К - одномерный текстовой, включает элементы К$(0), к$(1), К$(2), К$(3);
- массив А - двумерный вещественный, включает такие элементы:
Составление линейных программ с массивами. Прежде всего отметим особенности работы с массивами в программе.
1. Элементы массивов получают значения с помощью операторов ввода или присваивания как простые переменные. При вводе (выводе) массивов в операторах ввода (вывода) перечисляются имена всех вводимых (выводимых) элементов массива.
Пример: программа ввода и вывода массива Р (1:3) может иметь такой вид:
- 20 DIM Р(3)
- 30 INPUT Р(1), Р(2), Р (3)
- 40 PRINT Р(1), Р(2), Р(3)
- 50 END
- 2. Все массивы можно разделить на два вида:
- массивы постоянного размера (например, Р(1:7), В(1:4, 1:8)];
- массивы переменного размера [например, А(1:&); С(1 :т, 1: d). В главах 8 и 9 мы использовали оба вида, не делая различий между ними.
В некоторых версиях Бейсика оператор DIM не позволяет объявлять массивы переменного размера, поэтому использование их в программе требует некоторых ухищрений. В версиях Бейсика, рассматриваемых в пособии, таких ограничений нет, допустимо использовать массивы любого вида.
Следует только помнить: переменные - размеры массивов должны быть определены до обращения к оператору DIM.
Пример:
10 INPUT М 20 DIM Х(М)
Линейные программы с массивами составляются в соответствии с рассмотренным ранее правилом составления простейших программ, которое можно дополнить одним пунктом - «после оператора REM следует записать в программе оператор DIM». Кроме того, необходимо учитывать только что изложенные сведения о работе с массивами.
Теперь покажем построение рассматриваемых программ на конкретных примерах. Для начала вернемся к задаче 8.5. Схема алгоритма ее приведена на рис. 10.11. Заменив каждый блок этой схемы соответствующим оператором согласно правилу, приведенному в 12.2, и добавив оператор DIM, получим программу, приведенную ниже. После ознакомления с этой программой рекомендуем читателю самому составить программу решения задачи 10.7 и сравнить ее с приведенной ниже:
- 10 REM СУММА
- 20 DIM В(3, 3), S (2)
- 30 PRINT "ВВЕСТИ МАТР. В(3, 3)"
- 4 0 INPUT В(1, 1), В(1, 2), В(1, 3)
- 50 INPUT В (2, 1), В (2, 2), В(2, 3)
- 60 INPUT В(3, 1), В(3, 2), В(3, 3)
- 70 S(l) =В (1, 1)+В(1, 2) +В (1, 3)
- 80 S (2) =В (1, 3) +В (2, 3)+В(3, 3)
- 90 PRINT "S(1)="; S (1); "S(2)=";
- S (2)
- 100 END
- 10 REM СДВИГ 20 DIM В(4)
- 30 PRINT "ВВЕСТИ МАССИВ В (4) "
- 40 INPUT В(1), В(2),
- 50 D=B(1)
- 60 В(1)=В(2)
- 70 В(2)=В(3)
- 80 В(3)=В (4)
- 90 В(4)=D
- 100 PRINT "МАССИВ В=(";
- 110 PRINT В(1); В(2);
В (3) ; В (4) ; ") "
Контрольные вопросы
- 1. Какой оператор в Бейсике указывает тип и размеры массива?
- 2. Каково обозначение элементов массива в Бейсике? Каково наименьшее значение индекса элемента массива?
Задачи для самостоятельного решения
- 2. Вычислить среднее арифметическое переменных В, Си И.
- 3. Рабочие Иванов и Петров изготовили за смену А и В деталей соответственно, перевыполнив норму. Определить процент перевыполнения нормы (норма - С деталей в смену).
- 4. Определить разницу в возрасте невест для двух братьев Пети и Димы. Их возраст а и Ь соответственно. Возраст невесты определяется по формуле
где (7 - возраст жениха.
5. Вычислить значение у:
где
Примем кф 0; г,Ф 0.
- 6. Вычислить объем и площадь поверхности цилиндра диаметром О и высотой Н.
- 7. Вычислить стоимость мебельного гарнитура, содержащего четыре стула, два кресла и один стол. Стоимость изделий соответственно А, В и С руб.
- 8. Определить среднее арифметическое элементов массива С(1:5).
- 9. Определить произведение сумм элементов каждой строки матрицы Р(1:2, 1:3).
- 10. Переставить соответствующие элементы первой и второй строк матрицы А(1:2, 1:2).
- 11. Переставить элементы массива Я(1: 6): 1-й элемент и 6-й, 2-й и 5-й, 3-й и 4-й.
1.2 Кратко о линейном программировании.
Что же такое линейное программирование? Это один из первых и наиболее подробно изученных разделов математического программирования. Именно линейное программирование явилось тем разделом, с которого начала развиваться сама дисциплина «математическое программирование». Термин «программирование» в названии дисциплины ничего общего с термином «программирование (т.е. составление программ) для ЭВМ» не имеет, так как дисциплина «линейное программирование» возникла еще до того времени, когда ЭВМ стали широко применяться при решении математических, инженерных, экономических и других задач. Термин «линейное программирование» возник в результате неточного перевода английского «linear programming». Одно из значений слова «programming» - составление планов, планирование. Следовательно, правильным переводом «linear programming» было бы не «линейное программирование», а «линейное планирование», что более точно отражает содержание дисциплины. Однако, термин линейное программирование, нелинейное программирование и т.д. в нашей литературе стали общепринятыми.
Итак, линейное программирование возникло после Второй мировой войны и стал быстро развиваться, привлекая внимание математиков, экономистов и инженеров благодаря возможности широкого практического применения, а так же математической «стройности».
Можно сказать, что линейное программирование применимо для построения математических моделей тех процессов, в основу которых может быть положена гипотеза линейного представления реального мира: экономических задач, задач управления и планирования, оптимального размещения оборудования и пр.
Задачами линейного программирования называются задачи, в которых линейны как целевая функция, так и ограничения в виде равенств и неравенств. Кратко задачу линейного программирования можно сформулировать следующим образом: найти вектор значений переменных, доставляющих экстремум линейной целевой функции при m ограничениях в виде линейных равенств или неравенств.
Линейное программирование представляет собой наиболее часто используемый метод оптимизации. К числу задач линейного программирования можно отнести задачи:
· рационального использования сырья и материалов; задачи оптимизации раскроя;
· оптимизации производственной программы предприятий;
· оптимального размещения и концентрации производства;
· составления оптимального плана перевозок, работы транспорта;
· управления производственными запасами;
· и многие другие, принадлежащие сфере оптимального планирования.
Так, по оценкам американских экспертов, около 75% от общего числа применяемых оптимизационных методов приходится на линейное программирование. Около четверти машинного времени, затраченного в последние годы на проведение научных исследований, было отведено решению задач линейного программирования и их многочисленных модификаций.
Первые постановки задач линейного программирования были сформулированы известным советским математиком Л.В.Канторовичем, которому за эти работы была присуждена Нобелевская премия по экономике.
В настоящее время линейное программирование является одним из наиболее употребительных аппаратов математической теории оптимального принятия решения.
Итак, линейное программирование - это наука о методах исследования и отыскания наибольших и наименьших значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения. Таким образом, задачи линейного программирования относятся к задачам на условный экстремум функции.
1.3 Основная задача линейного программирования
Основная задача линейного программирования (ОЗЛП) ставится следующим образом: Имеется ряд переменных . Требуется найти такие их неотрицательные значения, которые удовлетворяли бы системе линейных уравнений:
{1.1}
и, кроме того, обращали бы в минимум линейную целевую функцию (ЦФ)
Очевидно, случай, когда ЦФ нужно обратить не в минимум, а в максимум, легко сводится к предыдущему, если изменить знак функции и рассмотреть вместо нее функцию
Допустимым решением ОЗЛП называют любую совокупность переменных , удовлетворяющую уравнениям (1.1).
Оптимальным решением называют то из допустимых решений, при котором ЦФ обращается в минимум.
На практике ограничения в задаче линейного программирования часто заданы не уравнениями, а неравенствами. В этом случае можно перейти к основной задаче линейного программирования.
Рассмотрим задачу линейного программирования с ограничениями-неравенствами, которые имеют вид
{1.2}
и являются линейно-независимыми. Последнее означает, никакое из них нельзя представить в виде линейной комбинации других. Требуется найти , которые удовлетворяют неравенствам и обращают в минимум
Введём уравнения:
{1.3}
Где - добавочные переменные, которые также как и являются неотрицательными.
Таким образом, имеем общую задачу линейного программирования - найти неотрицательные 
, чтобы они удовлетворяли системе уравнений (1.3) и обращали в минимум .
Коэффициенты в формуле (1.3) перед равны нулю.
1.3. Построение ограничений и градиента целевой функции: 1.4. Область допустимых решений – отрезок AB. 1.5. Точка А – оптимальная. Координаты т. А: ; ; . 2. Решение задачи линейного программирования симплекс-методом. Прямая задача. Задачу линейного программирования для любой вершины в компактной форме можно представить в виде: Для получения используем алгоритм, приведённый в...
Лучей, исходящих из одной точки, называется многогранным выпуклым конусом с вершиной в данной точке. 1.4 Математические основы решения задачи линейного программирования графическим способом 1.4.1 Математический аппарат Для понимания всего дальнейшего полезно знать и представлять себе геометрическую интерпретацию задач линейного программирования, которую можно дать для случаев n = 2 и n = ...
Задачи f1(x)=max=g1(x) – для первого предприятия; - для остальных предприятий. Решение задачи оптимального распределения средств между предприятиями методом динамического программирования Таблица 12 Средства с, тыс. гр. Предприятие 1 2 3 4 G1(x) G2(x) G3(x) G4(x) 20 11 13 12 10 40 21 20 22 27 60 40 42 34 33 80 54 45 55 57 100 62 62 ...
Положит в такой симплекс-таблице текущие базисные переменные равными Ai,0, а свободные - нулю, то будет получено оптимальное решение. Практика применения симплекс метода показала, что число итераций, требуемых для решения задачи линейного программирования обычно колеблется от 2m до 3m, хотя для некоторых специально построенных задач вычисления по правилам симплекс метода превращаются в прямой...
15. Аналитические методы. Методы линейного программирования.
15.1. Аналитические методы
На протяжении всей своей эволюции человек, совершая те или иные деяния, стремился вести себя таким образом, чтобы результат, достигаемый как следствие некоторого поступка, оказался в определенном смысле наилучшим. Двигаясь из одного пункта в другой, он стремился найти кратчайший среди возможных путь. Строя жилище, он искал такую его геометрию, которая при наименьшем расходе топлива, обеспечивала приемлемо комфортные условия существования. Занимаясь строительством кораблей, он пытался придать им такую форму, при которой вода оказывала бы наименьшее сопротивление. Можно легко продолжить перечень подобных примеров.
Наилучшие в определенном смысле решения задач принято называть оптимальными . Без использования принципов оптимизации в настоящее время не решается ни одна более или менее сложная проблема. При постановке и решении задач оптимизации возникают два вопроса: что и как оптимизировать?
Ответ на первый вопрос получается как результат глубокого изучения проблемы, которую предстоит решить. Выявляется тот параметр, который определяет степень совершенства решения возникшей проблемы. Этот параметр обычно называют целевой функцией или критерием качества . Далее устанавливается совокупность величин, которые определяют целевую функцию. Наконец, формулируются все ограничения, которые должны учитываться при решении задачи. После этого строится математическая модель, заключающаяся в установлении аналитической зависимости целевой функции от всех аргументов и аналитической формулировки сопутствующих задаче ограничений. Далее приступают к поиску ответа на второй вопрос.
Итак, пусть в
результате формализации прикладной
задачи установлено, что целевая функция
,
где множество Х – обобщение ограничений,
его называют множеством допустимых
решений. Существо проблемы оптимизации
заключается в поиске на множестве Х –
множестве допустимых решений такого
решения
,
при котором целевая функция f
достигает наименьшего или наибольшего
значения.
Составной частью методов оптимизации является линейное программирование.
15.2. Основные понятия линейного программирования
Первое упоминание (1938 г.) о математических методах в эффективном управлении производством принадлежит советскому математику Л. В. Канторовичу. Год спустя,в 1939 г., Л. В. Канторович опубликовал работу «Математические методы организации и планирования производства» и практически применил полученные результаты. Термин «линейное программирование» ввели американские математики Дж. Данциг и Т. Купманс в конце 40-х годов. Дж. Данциг разработал математический аппарат симплексного метода решения задач линейного программирования (1951 г.). Симплексный метод находит применение для решения широкого круга задач линейного программирования и до настоящего времени является одним из основных методов.
Линейное программирование - это раздел математики, ориентированный на нахождение экстремума (максимума или минимума) в задачах, которые описываются линейными уравнениями. Причем линейными уравнениями описывается как сама целевая функция, так и входные параметры (переменные) условия ограничений на входные параметры. Необходимым условием задач линейного программирования является обязательное наличие ограничений на ресурсы (сырье, материалы, финансы, спрос произведенной продукции и т.д.). Другим важным условием решения задачи является выбор критерия останова алгоритма, т. е. целевая функция должна быть оптимальна в некотором смысле. Оптимальность целевой функции должна быть выражена количественно. Если целевая функция представлена одним или двумя уравнениями, то на практике такие задачи решаются достаточно легко. Критерий останова алгоритма (или критерий оптимальности) должен удовлетворять следующим требованиям:
быть единственным для данной задачи;
измеряться в единицах количества;
линейно зависеть от входных параметров.
Исходя из вышесказанного, можно сформулировать задачу линейного программирования в общем виде:
найти экстремум целевой функции
при ограничениях в виде равенств:
(2.2)
при ограничениях в виде неравенств:
(2.3)
и условиях неотрицательности входных параметров:
В краткой форме задача линейного программирования может быть записана так:
(2.5)
при условии
где
- входные переменные;
Числа положительные, отрицательные и равные нулю.
В матричной форме эта задача может быть записана так:
Задачи линейного программирования можно решить аналитически и графически.
15.3. Каноническая задача линейного программирования
,
i=1,…,m,
,
j=1,…,n.
Основные вычислительные методы решения задач линейного программирования разработаны именно для канонической задачи.
15.4. Общая задача линейного программирования
Необходимо максимизировать (минимизировать) линейную функцию от n переменных.
при ограничениях
,
i
=1,…,
k
,
,
i
=1+
k
,…,
m
,
,
…,
Здесь k ≤ m , r ≤ n . Стандартная задача получается как частный случай общей при k = m , r = n ; каноническая – при k =0, r = n .
Пример.
Кондитерская фабрика производит несколько сортов конфет. Назовем их условно "A", "B" и "C". Известно, что реализация десяти килограмм конфет "А" дает прибыль 90 рублей, "В" - 100 рублей и "С" - 160 рублей. Конфеты можно производить в любых количествах (сбыт обеспечен), но запасы сырья ограничены. Необходимо определить, каких конфет и сколько десятков килограмм необходимо произвести, чтобы общая прибыль от реализации была максимальной. Нормы расхода сырья на производство 10 кг конфет каждого вида приведены в таблице 1.
Таблица 1. Нормы расходов сырья
на производство
Экономико-математическая формулировка задачи имеет вид
Найти такие значения переменных Х=(х1, х2, х3) , чтобы
целевая функция
при условиях-ограничениях:
Лабораторная работа № 1
Тема: «Программирование линейных алгоритмов. Работа с отладчиком»
Цель работы
1.1 Освоение простейшей структуры программы на языке Си.
1.2 Получение навыков в организации ввода-вывода на Языке Си.
Техническое обеспечение
2.1 Персональная ЭВМ
2.2 Клавиатура.
2.3 Дисплей.
2.4 Печатающее устройство.
3.1 Операционная система Windows
3.2 Система программирования Visual C++ версия 6.0 или Borland C++ версия 3.1 и более поздние версии.
Постановка задачи
Написание простейшей программы с обработкой данных.
5.1 Тема и цель работы.
5.2 Постановка задачи.
5.3 Текст программ.
5.4 Результаты выполнения программ.
5.5 Схемы алгоритма программ.
Линейная программа
Если в программе все операторы выполняются последовательно, один за другим, такая программа называется линейной. Рассмотрим в качестве примера программу, вычисляющую результат по заданной формуле.
Задача 1.1. Расчет по формуле
Написать программу, которая переводит температуру в градусах по Фаренгейту в градусы Цельсия по формуле:
где С - температура по Цельсию, a F - температура по Фаренгейту.
Перед написанием любой программы надо четко определить, что в нее требуется ввести и что мы должны получить в результате.
В данном случае:
В качестве исходных данных выступает одно вещественное число, представляющее собой температуру по Цельсию,
В качестве результата - другое вещественное число.
Перед написанием программы откроем интегрированную среду Visual C++:
Пуск/Программы/Microsoft Visual Studio/ Microsoft Visual C++ 6.00
1) File > New...
2) В открывшемся окне:
Выберите тип Win32 Console Application;
Введите имя проекта в текстовом поле Project Name;
Введите (выберете с помощью кнопки …) имя каталога размещения файлов проекта в текстовом поле Location, например G:/ASOIZ/
Щелкните левой кнопкой мыши на кнопке ОК.
3) открывается диалоговое окно Win32 Console Application - Stepl of 1 и в нем:
Выберите тип An empty project;
Щелкните на кнопке Finish.
4) После щелчка появится окно New Project, в котором щелкните на кнопке ОК.
1) File > New.... В результате откроется диалоговое окно New.
2) На вкладке Files:
Выберите тип файла (в данном случае: C++ Source File);
В текстовом поле File Name введите нужное имя файла;
Флажок Add to project должен быть включен;
Щелкните на кнопке ОК.
Набираем следующий текст программы:
Рассмотрим каждую строку программы отдельно.
В начале программы записана директива препроцессора, по которой к исходному тексту программы подключается заголовочный файл
Любая программа на С++ состоит из функций, одна из которых должна иметь имя main, указывающее, что именно с нее начинается выполнение программы. После круглых скобок в фигурных скобках { } записывается тело функции, т.е. те операторы, которые требуется выполнить.
Любая заготовка при написании программы имеет вид:
#include <…>
#include <…>
объявление переменных;
ввод исходных данных;
расчет результата;
вывод результата;
Для хранения исходных данных и результатов надо выделить достаточно места в оперативной памяти. Для этого служит оператор 2. В нашей программе требуется хранить два значения: температуру по Цельсию и температуру по Фаренгейту, поэтому в операторе определяются две переменные. Одна, для хранения температуры по Фаренгейту, названа fahr, другая (по Цельсию) - cels. Имена переменным дает программист, исходя из их назначения. Имя может состоять только из латинских букв, цифр и знака подчеркивания и должно начинаться не с цифры.
При описании любой переменной нужно указать ее тип. Поскольку температура может принимать не только целые значения, для переменных выбран вещественный тип float.
Основные типы:
int (short, unsigned) – целочисленные,
float (double, long double) – вещественные
char – символьный
bool – логический
Для того, чтобы пользователь программы знал, в какой момент требуется ввести с клавиатуры данные, применяется так называемое приглашение к вводу (оператор 3). На экран выводится указанная в операторе cout строка символов, и курсор переводится на следующую строку. Для перехода на следующую строку используется endl .
В операторе 4 выполняется ввод с клавиатуры
Для этого используется стандартный объект cin и операция извлечения (чтения) >>. Если требуется ввести несколько величин, используется цепочка операций >>.
В операторе 5 вычисляется выражение, записанное справа от операции присваивания (обозначаемой знаком =), и результат присваивается переменной cels, то есть заносится в отведенную этой переменной память. Cначала целая константа 5 будет поделена на целую константу 9, затем результат этой операции умножен на результат вычитания числа 32 из переменной fahr.
Для вывода результата в операторе 6 применяется объект cout. Выводится цепочка, состоящая из пяти элементов. Это строка " По Фаренгейту:" , значение переменной fahr , строка ", в градусах Цельсия:" , значение переменной cels и оператор перехода на новую строку endl.
Последний оператор (оператор 7) этой программы предназначен для возврата из нее и передачи значения во внешнюю среду.
Далее компилируем программу. Для этого нажимаем кнопку на панели инструментов либо комбинацию клавиш Ctrl+F7. В окне вывода (внизу экрана) должно вывестись сообщение 0 error(s), 0 warning(s) (0 ошибок, 0 предупреждений). Если есть ошибки - сверьте с оригиналом.
Для запуска программы нажимаем кнопку на панели инструментов либо комбинацию клавиш Ctrl+F5.
При запуске программы вместо русских символов видим???, что вызвыно различными стандартами кодировки символов кириллицы в операционных системах MS DOS-и Windows. Для исправления добавим в программу функцию CharToOem (дополнения для наглядности выделены красным цветом)
#include
#include
char* RUS(const char* text)
CharToOem(text, buf);
float fahr, cels;
cout< cels=5/9 * (fahr - 32); cout< cout< Функцию Rus()
нельзя использовать более одного раза в цепочке операций << для одного объекта cout
, поэтому мы разбили его на два. Как вы можете видеть, результат выполнения программы со стабильностью оказывается равным нулю! Это происходит из-за способа вычисления выражения. Давайте вновь обратимся к оператору 4. Константы 5 и 9 имеют целый тип, поэтому результат их деления также целочисленный. Естественно, что результат дальнейших вычислений не может быть ничем, кроме нуля. Исправить эту ошибку просто - достаточно записать хотя бы одну из констант в виде вещественного числа, например: cels = 5. / 9 * (fahr - 32);