1 слайд
2 слайд
* Двоичное кодирование в компьютере Вся информация, которую обрабатывает компьютер должна быть представлена двоичным кодом с помощью двух цифр: 0 и 1. Эти два символа принято называть двоичными цифрами или битами. С помощью двух цифр 0 и 1 можно закодировать любое сообщение. Это явилось причиной того, что в компьютере обязательно должно быть организованно два важных процесса: кодирование и декодирование. Кодирование – преобразование входной информации в форму, воспринимаемую компьютером, т.е. двоичный код. Декодирование – преобразование данных из двоичного кода в форму, понятную человеку. *
3 слайд
* Двоичная система счисления Двоичная система счисления - позиционная система счисления с основанием 2. Используются цифры 0 и 1. Двоичная система используется в цифровых устройствах, поскольку является наиболее простой и удовлетворяет требованиям: Чем меньше значений существует в системе, тем проще изготовить отдельные элементы. Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и тем быстрее он может работать. Простота создания таблиц сложения и умножения - основных действий над числами *
4 слайд
* Соответствие десятичной и двоичной систем счисления Количество используемых цифр называется основанием системы счисления. При одновременной работе с несколькими системами счисления для их различения основание системы обычно указывается в виде нижнего индекса, который записывается в десятичной системе: 12310 - это число 123 в десятичной системе счисления; 11110112 - то же число, но в двоичной системе. Двоичное число 1111011 можно расписать в виде: 11110112 = 1*26 + 1*25 + 1*24 + 1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20. p=10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 p=2 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000 *
5 слайд
* Перевод чисел из одной системы счисления в другую Перевод из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием p осуществляется последовательным делением десятичного числа и его десятичных частных на p, а затем выписыванием последнего частного и остатков в обратном порядке. Переведем десятичное число 2010 в двоичную систем счисления (основание системы счисления p=2). В итоге получили 2010 = 101002. *
6 слайд
* Перевод чисел из одной системы счисления в другую Перевод из двоичной системы счисления в систему счисления с основанием 10 осуществляется последовательным умножением элементов двоичного числа на 10 в степени места этого элемента при учете что нумерация мест идет справа и начинается с цифры «0». Переведем двоичное число 100102 в десятичную систем систем счисления. В итоге получили 100102 = 1810. 100102=1*24+ 0*23 +0*22+1*21+ 0*20 =16+2=1810 *
План-конспект урока по информатике в 9 классе на тему « Двоичная система счисления» (Слайд 1)Цель: сформировать понятия «двоичная система счисления» и основ арифметических вычислений в двоичной системе. (Слайд 2)
Требования к знаниям и умениям (Слайд 3)
Учащиеся должны знать:
десятичную и двоичную системы счисления;
развернутую форму записи числа;
правила перевода из двоичной системы счисления в десятичную и наоборот;
правила сложения и умножения двоичных чисел.
Учащиеся должны уметь:
переводить двоичные числа в десятичную систему;
переводить десятичные числа в двоичную систему;
складывать и умножать двоичные числа.
Программно-дидактическое оснащение: Сем., § 16, с. 96; демонстрация «Двоичная система счисления»; проектор. (Слайд 4)
Ход урока
Организационный момент
Постановка целей урока
С какими числами работает компьютер? Почему?
Как ими оперировать?
Работа по теме урока
(С помощью демонстрации «Двоичная система счисления» показать развернутую форму числа, перевод из двоичной системы счисления в десятичную и наоборот, арифметику двоичных чисел.)
Двоичная система счисления является основной системой представления информации в памяти компьютера. Эта идея принадлежит Джону фон Нейману (Слайд 5) , сформулировавшему в 1946 г. принципы устройства и работы ЭВМ. Но, вопреки распространенному заблуждению, двоичная система счисления была придумана не инженерами-конструкторами электронных вычислительных машин, а математиками и философами, задолго до появления компьютеров, еще в XVII-XIX вв. Великий немецкий ученый Лейбниц (Слайд 6) считал: «Вычисление с помощью двоек <...> является для науки основным и порождает новые открытия... При сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, везде появляется чудесный порядок». Позже двоичная система была забыта, и только в 1936-1938гг американский инженер и математик Клод Шеннон (Слайд 7) нашел замечательные применения двоичной системы при конструировании электронных схем.
А что же такое система счисления? Это правила записи чисел и связанные с ними способы выполнения вычислений.
Система счисления, к которой мы все привыкли, называется десятичной. Объясняется это название тем, что в ней используются десять цифр: 0, 1,2, 3,4, 5, 6, 7, 8,9. (Слайд 8) Число цифр определяет основание системы счисления. Если число цифр - десять, то основание системы счисления равно десяти. В двоичной же системе существует всего две цифры: 0 и 1. Основание равно двум. Возникает вопрос, можно ли с помощью всего двух цифр представить любую величину. Оказывается, можно!
Развернутая форма записи числа (Слайд 9)
Вспомним принцип записи чисел в десятичной системе счисления. Значение цифры в записи числа зависит не только от самой цифры, но и от места расположения этой цифры в числе (говорят: от позиции цифры). Например, в числе 555 первая справа цифра обозначает: три единицы, следующая - три десятка, следующая - три сотни. Этот факт можно выразить как сумму разрядных слагаемых:
555 10 = 5 х 10 2 + 5 х 10 1 + 5 х 10° = 500 + 50 + 5.
Таким образом, с продвижением от цифры к цифре справа налево «вес» каждой цифры увеличивается в 10 раз. Это связано с тем, что основание системы счисления равно десяти.
Перевод двоичных чисел в десятичную систему
А вот пример многозначного двоичного числа: 111011 2 . Двойка внизу справа указывает на основание системы счисления. Это нужно для того, чтобы не перепутать двоичное число с десятичным. Ведь существует же десятичное число 111011! Вес каждой следующей цифры в двоичном числе при продвижении справа налево возрастает в 2 раза. Развернутая форма записи данного двоичного числа выглядит так:
111011 2 = 1 х 2 5 + 1 х 2 4 + 1 х 2 3 + 0х 2 2 + 1 х 2 1 + 1 х 2° = 67 10 .
Таким способом мы перевели двоичное число в десятичную систему.
Переведем в десятичную систему еще несколько двоичных чисел (Слайд 10).
10 2 = 2 1 =2; 100 2 = 2 2 = 4; 1000 2 = 2 3 = 8;
10000 2 = 2 4 = 16; 100000 2 = 2 5 = 32 и т. д.
Таким образом, получилось, что двузначному десятичному числу соответствует шестизначное двоичное! И это характерно для двоичной системы: быстрый рост количества цифр с увеличением значения числа.
Задание 1. (Слайд 11) Запишите начало натурального ряда чисел в десятичной (А 10 ) и двоичной (А 2 ) системах счисления.
Задание 2. Переведите в десятичную систему следующие двоичные числа.
101 ; 11101 ; 101010 ; 100011 ; 10110111011 .
Ответ: 5; 29; 42; 35; 1467.
Перевод десятичных чисел в двоичную систему (Слайд 12)
Как перевести двоичное число в равное ему десятичное, вам должно быть понятно из рассмотренных выше примеров. А как осуществить обратный перевод: из десятичной системы в двоичную? Для этого нужно суметь разложить десятичное число на слагаемые, представляющие собой степени двойки. Например:
15 10 = 8 + 4 + 2 + 1 = 1 х 2 3 + 1 х 2 2 + 1 х 2 1 + 1 х 2° = 1111 2 . Это сложно. Есть другой способ, с которым мы сейчас и познакомимся.
Пусть нужно перевести в двоичную систему счисления число 234. Будем делить 234 последовательно на 2 и запоминать остатки, не забывая и про нулевые:
234 = 2 х 117 + 0 14 = 2 х 7 + 0
Выписав все остатки, начиная с последнего, получим двоичное разложение числа: 234 10 = 11101010 2 .
Задание 3. (Слайд 13) Какие двоичные числа соответствуют следующим десятичным числам?
2; 7; 17; 68; 315; 765; 2047.
Ответ: 10 2 ; 111 2 ; 10001 2 ; 1000100 2 ; 100111011 2 ; 1011111101 2 ; 11111111111 2 .
Арифметика двоичных чисел (Слайд 14)
Правила двоичной арифметики гораздо проще правил десятичной арифметики. Вот все возможные варианты сложения и умножения однозначных двоичных чисел:
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10
0*0=0
0*1=0
1*0=0
1*1=1
Своей простотой и согласованностью с битовой структурой компьютерной памяти двоичная система счисления и привлекла изобретателей компьютера. Ее гораздо проще реализовать техническими средствами, чем десятичную систему.
Вот пример сложения столбиком двух многозначных двоичных чисел (Слайд 15) :
+ 1011011101
111010110
10010110011
А теперь посмотрите внимательно на следующий пример умножения многозначных двоичных чисел:
х 1101101
101
1101101
1101101
1000100001
Задание 4. (Слайд 16) Выполните сложение в двоичной системе счисления. 11 + 1; 111 + 1; 1111 + 1; 11111 + 1.
Ответ: 100; 1000; 10000; 100000.
Задание 5. Выполните умножение в двоичной системе счисления.
111 х 10; 111 х 11; 1101 х 101; 1101 х 1000.
Ответ: 1110; 10101; 1000001; 1101000.
Подведение итогов урока (Слайд 17)
Система счисления - это определенные правила записи чисел и связанные с этими правилами способы выполнения вычислений. Основание системы счисления равно количеству используемых в ней цифр.
Двоичные числа - это числа в двоичной системе счисления. В их записи используются две цифры: 0 и 1.
Развернутая форма записи двоичного числа - это его представление в виде суммы степеней двойки, умноженных на 0 или на 1.
Использование двоичных чисел в компьютере связано с битовой структурой компьютерной памяти и с простотой двоичной арифметики
Домашнее задание (Слайд 18)
Заданы двоичные числа Х и Y . Вычислить X + Y и X- Y , если Х= 1000111, Y = 11010.
Заданы двоичные числа X и У. Вычислить X + Y - 1001101, если X = 1010100, Y = 110101.
Выполнить умножение: 100110 х 11001.
Ответы: 1.1100001 и 101101; 2. 111100; 3. 1110110110.
Системы счисления Система счисления это совокупность приемов и правил для обозначения и именования чисел. Позиционной система счисления называется потому, что одна и та же цифра получает различные количественные значения в зависимости от места, или позиции, которую она занимает в записи числа. Например, в записи числа 555 цифра 5, стоящая на первом месте справа, обозначает 5 единиц, на втором 5 десятков, на третьем 5 сотен.
Позиционные системы счисления Основание позиционной системы счисления это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. За основание системы можно принять любое натуральное число два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д.
Позиционные системы счисления Пример: Двоичная система счисления Разряды Число, 1 2 = =1*2 3 +0*2 2 +1*2 1 +0*2 0 +1*2 -1 Восьмеричная система счисления Разряды Число2 7 6, 5 2=2*8 2 +7*8 1 +6*8 0 +5* *8 -2
Позиционные системы счисления Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи. В связи с этим разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы. Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 – соответственно, третья и четвертая степени числа 2). –двоичная (используются цифры 0, 1); –восьмеричная (используются цифры 0, 1,..., 7); –шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1,..., 9, а для следующих чисел от десяти до пятнадцати – в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).
Запись чисел в системах счисления 10-я2-я8-я16-я10-я2-я8-я16-я A B C D E F
Как информация представляется в компьютере, или цифровые данные Для того чтобы понять, как самая разнообразная информация представлена в компьютере, «заглянем» внутрь машинной памяти. Ее удобно представить в виде листа в клетку. В каждой такой «клетке» хранится только одно из двух значений: нуль или единица. Две цифры удобны для электронного хранения данных, поскольку они требуют только двух состояний электронной схемы «включено» (это соответствует цифре 1) и «выключено» (это соответствует цифре 0). Каждая «клетка» памяти компьютера называется битом. Цифры 0 и 1, хранящиеся в «клетках» памяти компьютера, называют значениями битов.
С помощью последовательности битов можно представить самую разную информацию. Такое представление информации называется двоичным или цифровым кодированием. Преимуществом цифровых данных является то, что их относительно просто копировать и изменять. Их можно хранить и передавать с использованием одних и тех же методов, независимо от типа данных. Способы цифрового кодирования текстов, звуков (голоса, музыка), изображений (фотографии, иллюстрации) и последовательностей изображений (кино и видео), а также трехмерных объектов были придуманы в 80-х годах прошлого века.
Двоичное кодирование числовой информации Известно множество способов записи чисел. Мы пользуемся десятичной позиционной системой счисления. Десятичной она называется потому, что в этой системе счисления десять единиц одного разряда составляют одну единицу следующего старшего разряда. Число 10 называется основанием десятичной системы счисления. Для записи чисел в десятичной системе счисления используются десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.
Двоичное кодирование числовой информации Рассмотрим два числовых ряда: 1, 10, 100, 1000, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, Оба этих ряда начинаются с единицы. Каждое следующее число первого ряда получается путем умножения предыдущего числа на 10. Каждое следующее число второго ряда получается путем умножения предыдущего числа на 2.
Двоичное кодирование числовой информации Любое целое число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых единиц, десятков, сотен, тысяч и так далее, записанных в первом ряду. При этом каждый член этого ряда может либо не входить в сумму, либо вхо дить в нее от 1 до 9 раз. Пример: 1409 = Числа 1, 4, 0, 9, на которые умножаются члены первого ряда, составляют исходное число.
Перевод целых десятичных чисел в двоичный код Попробуем представить число 1409 в виде суммы членов второго ряда. Этот способ получения двоичного кода десятичного числа основан на записи остатков от деления исходного числа и получаемых частных на 2, продолжаемого до тех пор, пока очередное частное не окажется равным 0. Пример:
Перевод целых десятичных чисел в двоичный код В первую ячейку верхней строки записано исходное число, а в каждую следующую результат целочисленного деления предыдущего числа на 2. В ячейках нижней строки записаны остатки от деления стоящих в верхней строке чисел на 2. Последняя ячейка нижней строки остается пустой. Двоичный код исходного десятичного числа получается при последовательной записи всех остатков, начиная с последнего: =
Перевод целых десятичных чисел в двоичный код Первые 20 членов натурального ряда в двоичной системе счисления записываются так: 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000, 10001, 10010, 10011,
Использование калькулятора 2. Убедитесь, что Калькулятор настроен на работу в десятичной системе счисления. С помощью клавиатуры или мыши введите в поле ввода произвольное двузначное число. Активизируйте переключатель Bin и проследите за изменениями в окне ввода. Вернитесь в десятичную систему счисления. Очистите поле ввода. 3. Повторите пункт 2 несколько раз для других десятичных чисел. 4. Настройте Калькулятор на работу в двоичной системе счисления. Обратите внимание на то, какие кнопки Калькулятора и цифровые клавиши клавиатуры вам доступны. Поочередно введите двоичные коды 5-го 10-го и 15-го членов натурального ряда и с помощь переключателя Dec переведите их в десятичную систему счисления.
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Двоичная система счисления
Повторим тему «Системы счисления»
Основные понятия систем счисления Система счисления - это способ записи чисел и связанные с ними способы выполнения вычислений. Число - это некоторая величина Цифра - это символы, участвующие в записи числа Алфавит - совокупность различных цифр, используемых для записи числа
Единичная («палочная») система счисления (период палеолита, 10-11 тысяч лет до н.э.) Прежде чем человек научился считать или придумал слова для обозначения чисел, он, несомненно, владел наглядным, интуитивным представлением о числе. или Обозначение:
3 4 5 - единицы - десятки - сотни Обозначение: Иероглифические надписи древних египтян были аккуратно вырезаны на каменных монументах. Из этих надписей нам известно, что древние египтяне использовали только десятичную систему счисления. Древнеегипетская система счисления (ок.2850 до н.э.)
2-ой разряд 1-ый разряд = 60 +20+2 = 82 Вавилонская шестидесятеричная система счисления (2 тысячи лет до н.э.) Первая известная нам система счисления, основанная на позиционном принципе. - единицы - десятки - 60 ; 60 2 ; 60 3 ; … ; 60 n Обозначение:
X X X I I = 3 2 D X L I I = 542 1000 500 100 50 10 5 1 M D C L X V I Римская система счисления (500 лет до н.э.) В качестве цифр в римской системе используются: Значение цифры не зависит от ее положения в числе. Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа - прибавляется. Например, IX = 9 , а XI =11 . Какие числа записаны римскими цифрами? Величина числа определяется как сумма или разность цифр в числе.
– основание (p) Набор всех цифр для записи числа – алфавит Количество цифр для записи числа Позиционные системы могут иметь различный алфавит (2,3,4 знака). Позиционные системы счисления Каждая позиционная система счисления имеет определенный алфавит и основание.
Основание Название Алфавит р = 2 Двоичная 0 1 р = 3 Троичная 0 1 2 р = 8 Восьмеричная 0 1 2 3 4 5 6 7 р = 16 Шестнадцатеричная 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F Алфавиты систем счисления Для записи чисел в позиционной системе с основанием р нужно иметь алфавит из р цифр. При р > 10 к десяти арабским цифрам добавляют латинские буквы. Позиция цифры в числе называется разрядом.
Представление информации в компьютере В каждой такой «клетке» хранится только одно из двух значений: нуль или единица. Каждая «клетка» памяти компьютера называется битом. Цифры 0 и 1, хранящиеся в «клетках» компьютера, называются значениями битов. 0 1 и Машинную память удобно представить в виде листа в клетку.
5555=5000+500+50+5=5*1000+5*100+5*10+5*1=5*10 3 +5*10 2 +5*10 1 +5*10 0 456327=4*100000+5*10000+6*1000+3*100+2*10+7*1=4*10 5 +5*10 4 +6*10 3 +3*10 2 +2*10 1 +7*10 0 Рассмотрим десятичную систему счисления Развёрнутая форма записи числа
Позиция цифры в числе называется разрядом. A q = a n-1 q n-1 + … + a 1 q 1 + a 0 q 0 + a -1 q -1 + … + a -m q -m , где q - основание системы счисления (количество используемых цифр) A q - число в системе счисления с основанием q a - цифры многоразрядного числа A q n (m) - количество целых (дробных) разрядов числа A q Развёрнутая форма записи числа
1101 2 =1*2 3 +1*2 2 +0*2 1 +1*2 0 =1*8+1*4+0*2+1*1=13 11100011 2 =? Рассмотрим двоичную систему счисления Перевод двоичного числа в десятичное
Разделить целое десятичное число на 2. Остаток записать. Если полученное частное не меньше 2 , то продолжать деление. Двоичный код десятичного числа получается при последовательной записи последнего частного и всех остатков, начиная с последнего. Перевод целых десятичных чисел в двоичную систему
Переведите десятичные числа в двоичное 154 10 = 658 10 = 10005 10 = Задание
Арифметика двоичных чисел 0+0= 0+1= 1+0= 1+1= 0*0= 0*1= 1*0= 1*1= 0 10 0 0 0 1 1 1
§16 Стр. 100 задание 4, 5 и 6 Домашнее задание
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Системы счисления. Основные понятия. Двоичная система счисления
Мультимедийная презентация содержит основные понятия по теме "Системы счисленя". Двоичная система счисления представлена в презентации по следующей схеме: основание, узловые и алгоритмические числа, п...