Соответствующее такому векторному пространству. В этой статье за исходное будет взято первое определение.

N {\displaystyle n} -мерное евклидово пространство обозначается E n , {\displaystyle \mathbb {E} ^{n},} также часто используется обозначение (если из контекста ясно, что пространство обладает евклидовой структурой).

Энциклопедичный YouTube

1 / 5

✪ 04 - Линейная алгебра. Евклидово пространство

✪ Неевклидова геометрия. Часть первая.

✪ Неевклидова геометрия. Часть вторая

✪ 01 - Линейная алгебра. Линейное (векторное) пространство

✪ 8. Евклидовы пространства

Субтитры

Формальное определение

Для определения евклидова пространства проще всего взять в качестве основного понятие скалярного произведения . Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел , на векторах которого задана вещественнозначная функция (⋅ , ⋅) , {\displaystyle (\cdot ,\cdot),} обладающая следующими тремя свойствами:

Пример евклидова пространства - координатное пространство R n , {\displaystyle \mathbb {R} ^{n},} состоящее из всевозможных кортежей вещественных чисел (x 1 , x 2 , … , x n) , {\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),} скалярное произведение в котором определяется формулой (x , y) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n . {\displaystyle (x,y)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}.}

Длины и углы

Заданного на евклидовом пространстве скалярного произведения достаточно для того, чтобы ввести геометрические понятия длины и угла . Длина вектора u {\displaystyle u} определяется как (u , u) {\displaystyle {\sqrt {(u,u)}}} и обозначается | u | . {\displaystyle |u|.} Положительная определённость скалярного произведения гарантирует, что длина ненулевого вектора ненулевая, а из билинейности следует, что | a u | = | a | | u | , {\displaystyle |au|=|a||u|,} то есть длины пропорциональных векторов пропорциональны.

Угол между векторами u {\displaystyle u} и v {\displaystyle v} определяется по формуле φ = arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) . {\displaystyle \varphi =\arccos \left({\frac {(x,y)}{|x||y|}}\right).} Из теоремы косинусов следует, что для двумерного евклидова пространства (евклидовой плоскости ) данное определение угла совпадает с обычным . Ортогональные векторы, как и в трёхмерном пространстве, можно определить как векторы, угол между которыми равен π 2 . {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}.}

Неравенство Коши - Буняковского - Шварца и неравенство треугольника

В данном выше определении угла остался один пробел: для того, чтобы arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) {\displaystyle \arccos \left({\frac {(x,y)}{|x||y|}}\right)} был определён, необходимо, чтобы выполнялось неравенство | (x , y) | x | | y | | ⩽ 1. {\displaystyle \left|{\frac {(x,y)}{|x||y|}}\right|\leqslant 1.} Это неравенство действительно выполняется в произвольном евклидовом пространстве, оно называется неравенством Коши - Буняковского - Шварца . Из этого неравенства, в свою очередь, следует неравенство треугольника : | u + v | ⩽ | u | + | v | . {\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|.} Неравенство треугольника, вместе с перечисленными выше свойствами длины, означает, что длина вектора является нормой на евклидовом векторном пространстве, а функция d (x , y) = | x − y | {\displaystyle d(x,y)=|x-y|} задаёт на евклидовом пространстве структуру метрического пространства (эта функция называется евклидовой метрикой). В частности, расстояние между элементами (точками) x {\displaystyle x} и y {\displaystyle y} координатного пространства R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} задаётся формулой d (x , y) = ‖ x − y ‖ = ∑ i = 1 n (x i − y i) 2 . {\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y})=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.}

Алгебраические свойства

Ортонормированные базисы

Сопряжённые пространства и операторы

Любой вектор x {\displaystyle x} евклидова пространства задаёт линейный функционал x ∗ {\displaystyle x^{*}} на этом пространстве, определяемый как x ∗ (y) = (x , y) . {\displaystyle x^{*}(y)=(x,y).} Это сопоставление является изоморфизмом между евклидовым пространством и

На любой поверхности можно установить координатную систему, определяя положение точки на ней опять-таки двумя числами. Для этого каким-либо способом покроем всю поверхность двумя семействами линий так, чтобы через каждую ее точку (быть может, за небольшим числом исключений) проходила одна, и только одна, линия из каждого семейства. Теперь надо лишь снабдить линии каждого семейства числовыми пометками по какому-нибудь твердому правилу, позволяющему по числовой пометке находить нужную линию семейства (рис. 22).

Координатами точки М поверхности служат числа u , v, где u -- числовая пометка линии первого семейства, проходящей через М, и v -- пометка линий второго семейства. По-прежнему будем писать: М (u; v), числа и, v называются криволинейными координатами точки М. Сказанное станет совсем ясным, если за примером обратиться к сфере. Ее всю можно покрыть меридианами (первое семейство); каждому из них соответствует числовая пометка, а именно значение долготы u (или ц). Все параллели образуют второе семейство; каждой из них отвечает числовая пометка -- широта v (или и). Через каждую точку сферы (исключая полюсы) проходит только один меридиан и одна параллель.

В качестве еще одного примера рассмотрим боковую поверхность прямого круглого цилиндра высоты Н, радиуса a (рис. 23). За первое семейство примем систему его образующих, одну из них примем за начальную. Каждой образующей припишем отметку u, равную длине дуги на окружности основания между начальной образующей и данной (дугу будем отсчитывать, например, против часовой стрелки). За второе семейство примем систему горизонтальных сечений поверхности; числовой пометкой v будем считать высоту, на которой проведено сечение над основанием. При надлежащем выборе осей х, у, z в пространстве будем иметь для любой точки М (х; у; z) нашей поверхности:

(Здесь аргументы у косинуса и синуса не в градусах, а в радианах.) Эти уравнения можно рассматривать как параметрические уравнения поверхности цилиндра.

Задача 9. По какой кривой надо вырезать кусок жести для изготовления колена водосточной трубы, чтобы после надлежащего изгибания получился цилиндр радиуса а, усеченный плоскостью под углом 45° к плоскости основания?

Решение. Воспользуемся параметрическими уравнениями поверхности цилиндра:

Секущую плоскость проведем через ось Ох, ее уравнение z=y. Комбинируя его с только что написанными уравнениями, получим уравнение

линии пересечения в криволинейных координатах. После развертки поверхности на плоскость криволинейные координаты и и v превратятся в декартовы координаты.

Итак, кусок жести должен быть сверху очерчен по синусоиде

Здесь u и v уже декартовы координаты на плоскости (рис. 24).

Как в случае сферы и цилиндрической поверхности, так и в общем случае задание поверхности параметрическими уравнениями влечет за собой установление на поверхности криволинейной системы координат. Действительно, выражение декартовых координат х, у, z произвольной точки М (х; у;z) поверхности через два параметра u, v (это в общем случае записывают так: х =ц (u ; v), y= ц(u; v), z=щ(u; v), ц, ш,щ -- функции двух аргументов) дает возможность, зная пару чисел u, v, найти соответствующие координаты х, у,z, а значит, положение точки М на поверхности; числа u, v служат ее координатами. Давая одной из них постоянное значение, например u =u 0 , получим выражение х, у, z через один параметр v, т. е. параметрическое уравнение кривой. Это -- координатная линия одного семейства, ее уравнение u=u 0 . Точно так же линия v=v 0 -- координатная линия другого семейства.

координата декартовый радиус вектор

До сих пор, желая знать положение точки на плоскости, или в пространстве, мы пользовались декартовой системой координат. Так, например, положение точки в пространстве мы определяли с помощью трёх координат. Этими координатами были абсцисса, ордината и аппликата переменной точки пространства. Однако ясно, что задание абсциссы, ординаты и аппликаты точки является не единственным способом определения положения точки в пространстве. Это можно сделать и иным способом, например, с помощью криволинейных координат.

Пусть по некоторому, вполне определенному правилу каждой точке М пространства однозначно соответствует некоторая тройка чисел (q 1 , q 2 , q 3), причём различным точкам соответствуют различные тройки чисел. Тогда говорят, что в пространстве задана система координат; числа q 1 , q 2 , q 3 , которые соответствуют точке М , называются координатами (или криволинейными координатами) этой точки.

В зависимости от того правила, по которому тройка чисел (q 1 , q 2 , q 3) ставится в соответствие точке пространства, говорят о той или иной системе координат.

Если хотят отметить, что в данной системе координат положение точки М определяется числами q 1 , q 2 , q 3 , то это записывается следующим образом М (q 1 , q 2 , q 3).

Пример 1. Пусть в пространстве отмечена некоторая фиксированная точка О (начало координат), и через неё проведены три взаимно перпендикулярные оси с выбранным на них масштабом. (Оси Оx , Оy , Оz ). Тройке чисел x , y , z поставим в соответствие точку М , такую, что проекции её радиус-вектора ОМ на оси Оx , Оy , Оz будут равны соответственно x , y , z . Такой способ установления зависимости между тройками чисел (x , y , z ) и точками М приводит нас к хорошо известной декартовой системе координат.

Легко видеть, что в случае декартовой системы координат не только каждой тройке чисел соответствует определённая точка пространства, но и обратно, каждой точке пространства соответствует определённая тройка координат.

Пример 2. Пусть в пространстве снова проведены оси координат Оx , Оy , Оz , проходящие через фиксированную точку О (начало координат).

Рассмотрим тройку чисел r , j , z , где r ³0; 0£j £2p , –¥<z <¥, и поставим в соответствие этой тройке чисел точку М, такую, что её аппликата равна z , а её проекция на плоскость Оxy имеет полярные координаты r и j (см. рис. 4.1). Ясно, что здесь каждой тройке чисел r , j , z соответствует определённая точка М и обратно, каждой точке М отвечает определённая тройка чисел r , j , z . Исключением являются точки, лежащие на оси Оz : в этом случае r и z определены однозначно, а углу j можно приписать любое значение. Числа r , j , z называются цилиндрическими координатами точки М .

Легко установить связь между цилиндрическими и декартовыми координатами:

x = r ×cosj ; y = r ×sinj ; z = z .

И обратно ; ; z = z .

Пример 3. Введём сферическую систему координат. Зададим три числа r , q , j , характеризующие положение точки М в пространстве следующим образом: r – расстояние от начала координат до точки М (длина радиус-вектора), q Оz и радиусом-вектором ОМ (широта точки М ) j – угол между положительным направлением оси Оx и проекцией радиус-вектора на плоскость Оxy (долгота точки М ). (См. рис. 4.2).

Ясно, что и в этом случае не только каждой точке М соответствует определённая тройка чисел r , q , j , где r ³ 0, 0£ q £p , 0£ j £2p , но и обратно, каждой такой тройке чисел отвечает определённая точка пространства (снова за исключением точек оси Оz , где эта однозначность нарушается).

Легко найти связь между сферическими и декартовыми координатами:

x = r sinq cosj ; y = r sinq sinj ; z = r cosq .

Вернёмся к произвольной системе координат (Оq 1 , Оq 2 , Оq 3). Будем считать, что не только каждой точке пространства отвечает определённая тройка чисел (q 1 , q 2 , q 3), но и обратно, каждой тройке чисел отвечает определённая точка пространства. Введём понятие координатных поверхностей и координатных линий.

Определение . Множество тех точек, для которых координата q 1 постоянна, называется координатной поверхностью q 1 . Аналогично определяются координатные поверхности q 2 , и q 3 (см. рис. 4.3).

Очевидно, что если точка М имеет координаты С 1 , С 2 , С 3 то в этой точке пересекаются координатные поверхности q 1 =C 1 ; q 2 =C 2 ; q 3 =C 3 .

Определение . Множество тех точек, вдоль которых изменяется только координата q 1 (а остальные две координаты q 2 и q 3 остаются постоянными), называется координатной линией q 1 .

Очевидно, что всякая координатная линия q 1 является линией пересечения координатных плоскостей q 2 и q 3 .

Аналогично определяются координатные линии q 2 и q 3 .

Пример 1. Координатными поверхностями (по координате x ) в декартовой системе координат являются все плоскости x = const. (Они параллельны плоскости Оyz ). Аналогично определяются координатные поверхности по координатам y и z .

Координатная x -линия – это прямая, параллельная оси Оx . Координатная y -линия (z -линия) – прямая, параллельная оси Оу (оси Оz ).

Пример 2. Координатными поверхностями в цилиндрической системе являются: любая плоскость, параллельная плоскости Оxy (координатная поверхность z = const), поверхность кругового цилиндра, ось которого направлена по оси Оz (координатная поверхность r = const) и полуплоскость, ограниченная осью Оz (координатная поверхность j = const) (см. рис. 4.4).

Название цилиндрическая система координат объясняется тем, что среди её координатных поверхностей имеются цилиндрические поверхности.

Координатными линиями в этой системе являются z -линия – прямая, параллельная оси Оz ; j -линия – окружность, лежащая в горизонтальной плоскости с центром на оси Оz ; и r -линия – луч, выходящий из произвольной точки на оси Оz , параллельно плоскости Оxy .

Рис. 4.5

Так как среди координатных поверхностей имеются сферы, то эту систему координат называют сферической.

Координатные линии здесь таковы: r -линия – луч, выходящий из начала координат, q -линия – полуокружность с центром в начале координат, соединяющая две точки на оси Оz ; j -линия – окружность, лежащая в горизонтальной плоскости, с центром на оси Оz .

Во всех рассмотренных выше примерах координатные линии, проходящие через какую-либо точку М , ортогональны друг другу. Это бывает далеко не во всякой системе координат. Однако мы ограничимся изучением только таких систем координат, для которых это имеет место; такие системы координат называются ортогональными.

Определение . Система координат (Оq 1 , Оq 2 , Оq 3) называется ортогональной, если в каждой точке М координатные линии, проходящие через эту точку, пересекаются под прямым углом.

Рассмотрим теперь какую-нибудь точку М и проведём единичные векторы касающиеся в этой точке соответствующих координатных линий и направленные в сторону возрастания соответствующей координаты. Если эти векторы в каждой точке образуют правую тройку, то нам задана правая система координат. Так, например декартова система координат x , y , z (при обычном расположении осей) является правой. Также являются правыми цилиндрическая система координат r , j , z (но именно при таком порядке координат; если изменить порядок следования координат, взяв, например, r , z , j , мы уже не получим правой системы).

Сферическая система координат также является правой (если установить такой порядок следования r , q , j ).

Заметим, что в декартовой системе координат направление единичного вектора не зависит от того в какой точке М мы проводим этот вектор; то же самое справедливо и относительно векторов . Иное мы наблюдаем в криволинейных системах координат: например, в цилиндрической системе координат векторы в точке М и в какой-либо другой точке М 1 уже вовсе не обязаны быть параллельными друг другу. То же относится и к вектору (в разных точках он имеет, вообще говоря, разные направления).

Таким образом, тройка единичных ортогональных векторов в криволинейной системе координат зависит от положения точки М , в которой эти векторы рассматриваются. Тройка единичных ортогональных векторов называется подвижным репером, а сами векторы – единичными ортами (или просто ортами).

На плоскости.

Локальные свойства криволинейных координат

При рассмотрении криволинейных координат в данном разделе мы будем полагать, что рассматриваем трёхмерное пространство (n =3), снабженное декартовыми координатами x , y , z . Случай других размерностей отличается лишь количеством координат.

В случае евклидова пространства метрический тензор , именуемый также квадратом дифференциала дуги , будет в этих координатах иметь вид, соответствующий единичной матрице:

$dS^2\; =\; \backslash mathbf\{dx\}^2\; +\; \backslash mathbf\{dy\}^2\; +\; \backslash mathbf\{dz\}^2.$

Общий случай

Пусть $q\_1$, $q\_2$, $q\_3$ - некие криволинейные координаты, которые мы будем считать заданными гладкими функциями от x , y , z . Для того, чтобы три функции $q\_1$, $q\_2$, $q\_3$ служили координатами в некоторой области пространства, необходимо существование обратного отображения:

$\backslash left\backslash \{\backslash begin\{matrix\}\; x\; =\; \backslash varphi\_1\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right);\backslash \backslash \; y=\; \backslash varphi\_2\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right);\; \backslash \backslash \; z\; =\; \backslash varphi\_3\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right),\backslash end\{matrix\}\backslash right.$

где $\backslash varphi\_1,\backslash ;\; \backslash varphi\_2,\backslash ;\; \backslash varphi\_3$ - функции, определённые в некоторой области наборов $\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right)$ координат.

Локальный базис и тензорный анализ

В тензорном исчислении можно ввести вектора локального базиса: $\backslash mathbf\{R\_j\}=\backslash frac\{d\backslash mathbf\; r\}\{dy^j\}=\; \backslash frac\{dx^i\}\{dy^j\}\; \backslash mathbf\; e\_i=Q^i\_j\; \backslash mathbf\; e\_i$ , где $\backslash mathbf\; e\_i$ - орты декартовой системы координат, $Q^i\_j$ - матрица Якоби , $x^i$ координаты в декартовой системе, $y^i$ - вводимые криволинейные координаты.
Не трудно видеть, что криволинейные координаты, вообще говоря, меняются от точки к точке.
Укажем формулы для связи криволинейных и декартовых координат:
$\backslash mathbf\; R\_i=Q^j\_i\; \backslash mathbf\; e\_j$
$\backslash mathbf\; e\_i=P^j\_i\; \backslash mathbf\; R\_j$ где $P^j\_i\; Q^i\_j=E$, где Е - единичная матрица.
Произведение двух векторов локального базиса образует метрическую матрицу:
$\backslash mathbf\; R\_i\; \backslash mathbf\; R\_j\; =\; Q^n\_i\; Q^m\_j\; d\_\{nm\}\; =\; g\_\{ij\}$
$\backslash mathbf\; R^i\; \backslash mathbf\; R^j\; =\; P^i\_n\; P^j\_m\; d^\{nm\}=g^\{ij\}$
$g\_\{ij\}\; g^\{jk\}=g^\{jk\}\; g\_\{ij\}\; =d\_i^k$, где $d\_\{ij\},\; d^\{ij\},\; d^i\_j$ контравариантный, ковариантный и смешанный символ Кронекера
Таким образом любое поле тензора $\backslash mathbf\; T$ ранга n можно разложит по локальному полиадному базису:
$\backslash mathbf\; T=\; T^\{i\_1\; ...\; i\_n\}\; \backslash mathbf\; e\_i\; \backslash otimes\; ...\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\; e\_n\; =T^\{i\_1\; ...i\_n\}\; P^\{j\_1\}\_\{i\_1\}\; ...\; P^\{j\_n\}\_\{i\_n\}\; \backslash mathbf\; R\_\{j\_1\}\; \backslash otimes...\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\; R\_\{j\_n\}$
Например, в случае поле тензора первого ранга (вектора) :
$\backslash mathbf\; v=v^i\; \backslash mathbf\; e\_i=v^i\; P^j\_i\; \backslash mathbf\; R\_j$

Ортогональные криволинейные координаты

В евклидовом пространстве особое значение имеет использование ортогональных криволинейных координат, поскольку формулы, имеющие отношение к длине и углам, выглядят в ортогональных координатах проще, нежели в общем случае. Что связано с тем, что метрическая матрица в системах с ортонормированным базисом будет диагональной, что существенно упростит расчёты.
В качестве примера таких систем можно привести сферическую систему в $\backslash mathbb\{R\}^2$

Коэффициенты Ламе

Выпишем дифференциал дуги в криволинейных координатах в виде (используется правило суммирования Эйнштейна):

$dS^2\; =\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash varphi\_1\}\{\backslash partial\; q\_i\}\backslash mathbf\{dq\}\_i\; \backslash right)^2\; +$

\left(\frac{\partial \varphi_2}{\partial q_i}\mathbf{dq}_i \right)^2 + \left(\frac{\partial \varphi_3}{\partial q_i}\mathbf{dq}_i \right)^2 , ~ i=1,2,3

Принимая во внимание ортогональность систем координат ($\backslash mathbf\{dq\}\_i\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{dq\}\_j\; =\; 0$ при $i\; \backslash ne\; j$) это выражение можно переписать в виде

$dS^2\; =\; H\_1^2dq\_1^2\; +\; H\_2^2dq\_2^2\; +\; H\_3^2dq\_3^2,$

$H\_i\; =\; \backslash sqrt\{\backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash varphi\_1\}\{\backslash partial\; q\_i\}\backslash right)^2\; +\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash varphi\_2\}\{\backslash partial\; q\_i\}\backslash right)^2\; +\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash varphi\_3\}\{\backslash partial\; q\_i\}\backslash right)^2\};\backslash \; i=1,\backslash ;2,\backslash ;3$

Положительные величины $H\_i\backslash$, зависящие от точки пространства, именуются коэффициентами Ламе или масштабными коэффициентами. Коэффициенты Ламе показывают, сколько единиц длины содержится в единице координат данной точки и используются для преобразования векторов при переходе от одной системы координат к другой.

Тензор римановой метрики, записанный в координатах $\{q\_i\}$, представляет из себя диагональную матрицу , на диагонали которой стоя́т квадраты коэффициентов Ламе:

Примеры

Полярные координаты (n =2)

Полярные координаты на плоскости включают расстояние r до полюса (начала координат) и направление (угол) φ.

Связь полярных координат с декартовыми:

$\backslash left\backslash \{\backslash begin\{matrix\}\; x\; =\; r\backslash cos\{\backslash varphi\};\backslash \backslash \; y\; =\; r\backslash sin\{\backslash varphi\}.\backslash end\{matrix\}\backslash right.$

Коэффициенты Ламе:

$\backslash begin\{matrix\}H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash \; H\_\backslash varphi\; =\; r.\; \backslash end\{matrix\}$

Дифференциал дуги:

$dS^2\backslash \; =\backslash \; dr^2\backslash \; +\backslash \; r^2d\backslash varphi^2.$

В начале координат функция φ не определена. Если координату φ считать не числом, а углом (точкой на единичной окружности), то полярные координаты образуют систему координат в области, полученной изо всей плоскости изъятием точки начала координат. Если всё-таки считать φ числом, то в означенной области оно будет многозначно , и построение строго в математическом смысле системы координат возможно лишь в односвязной области, не включающей начало координат, например, на плоскости без луча .

Цилиндрические координаты (n =3)

Цилиндрические координаты являются тривиальным обобщением полярных на случай трёхмерного пространства путём добавления третьей координаты z . Связь цилиндрических координат с декартовыми:

$\backslash left\backslash \{\backslash begin\{matrix\}\; x\; =\; r\backslash cos\{\backslash varphi\};\backslash \backslash \; y\; =\; r\backslash sin\{\backslash varphi\}.\; \backslash \backslash \; z\; =\; z.\; \backslash end\{matrix\}\backslash right.$

Коэффициенты Ламе:

$\backslash begin\{matrix\}H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash \; H\_\backslash varphi\; =\; r;\; \backslash \backslash \; H\_z\; =\; 1.\; \backslash end\{matrix\}$

Дифференциал дуги:

$dS^2\backslash \; =\backslash \; dr^2\backslash \; +\backslash \; r^2d\backslash varphi^2\; +\; dz^2.$

Сферические координаты (n =3)

Сферические координаты связаны с координатами широты и долготы на единичной сфере . Связь сферических координат с декартовыми:

$\backslash left\backslash \{\backslash begin\{matrix\}\; x\; =\; r\backslash sin\{\backslash theta\}\backslash cos\{\backslash varphi\};\backslash \backslash \; y\; =\; r\backslash sin\{\backslash theta\}\backslash sin\{\backslash varphi\};\; \backslash \backslash \; z\; =\; r\backslash cos\{\backslash theta\}.\; \backslash end\{matrix\}\backslash right.$

Коэффициенты Ламе:

$\backslash begin\{matrix\}H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash \; H\_\backslash theta\; =\; r;\; \backslash \backslash \; H\_\backslash varphi\; =\; r\backslash sin\{\backslash theta\}.\; \backslash end\{matrix\}$

Дифференциал дуги:

$dS^2\backslash \; =\backslash \; dr^2\backslash \; +\backslash \; r^2d\backslash theta^2\; +\; r^2\backslash sin^2\{\backslash theta\}d\backslash varphi^2.$

Сферические координаты, как и цилиндрические, не работают на оси z { x =0, y =0}, поскольку координата φ там не определена.

Различные экзотические координаты на плоскости (n =2) и их обобщения

Напишите отзыв о статье "Криволинейная система координат"

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). - М .: Наука, 1974. - 832 с.

Название координат Типы систем координат Двумерные координаты Трёхмерные координаты $n$-мерные координаты Физические координаты Связанные определения

Отрывок, характеризующий Криволинейная система координат

– Ежели бы он мог атаковать нас, то он нынче бы это сделал, – сказал он.
– Вы, стало быть, думаете, что он бессилен, – сказал Ланжерон.
– Много, если у него 40 тысяч войска, – отвечал Вейротер с улыбкой доктора, которому лекарка хочет указать средство лечения.
– В таком случае он идет на свою погибель, ожидая нашей атаки, – с тонкой иронической улыбкой сказал Ланжерон, за подтверждением оглядываясь опять на ближайшего Милорадовича.
Но Милорадович, очевидно, в эту минуту думал менее всего о том, о чем спорили генералы.
– Ma foi, [Ей Богу,] – сказал он, – завтра всё увидим на поле сражения.
Вейротер усмехнулся опять тою улыбкой, которая говорила, что ему смешно и странно встречать возражения от русских генералов и доказывать то, в чем не только он сам слишком хорошо был уверен, но в чем уверены были им государи императоры.
– Неприятель потушил огни, и слышен непрерывный шум в его лагере, – сказал он. – Что это значит? – Или он удаляется, чего одного мы должны бояться, или он переменяет позицию (он усмехнулся). Но даже ежели бы он и занял позицию в Тюрасе, он только избавляет нас от больших хлопот, и распоряжения все, до малейших подробностей, остаются те же.
– Каким же образом?.. – сказал князь Андрей, уже давно выжидавший случая выразить свои сомнения.
Кутузов проснулся, тяжело откашлялся и оглянул генералов.
– Господа, диспозиция на завтра, даже на нынче (потому что уже первый час), не может быть изменена, – сказал он. – Вы ее слышали, и все мы исполним наш долг. А перед сражением нет ничего важнее… (он помолчал) как выспаться хорошенько.
Он сделал вид, что привстает. Генералы откланялись и удалились. Было уже за полночь. Князь Андрей вышел.

Военный совет, на котором князю Андрею не удалось высказать свое мнение, как он надеялся, оставил в нем неясное и тревожное впечатление. Кто был прав: Долгоруков с Вейротером или Кутузов с Ланжероном и др., не одобрявшими план атаки, он не знал. «Но неужели нельзя было Кутузову прямо высказать государю свои мысли? Неужели это не может иначе делаться? Неужели из за придворных и личных соображений должно рисковать десятками тысяч и моей, моей жизнью?» думал он.
«Да, очень может быть, завтра убьют», подумал он. И вдруг, при этой мысли о смерти, целый ряд воспоминаний, самых далеких и самых задушевных, восстал в его воображении; он вспоминал последнее прощание с отцом и женою; он вспоминал первые времена своей любви к ней! Вспомнил о ее беременности, и ему стало жалко и ее и себя, и он в нервично размягченном и взволнованном состоянии вышел из избы, в которой он стоял с Несвицким, и стал ходить перед домом.
Ночь была туманная, и сквозь туман таинственно пробивался лунный свет. «Да, завтра, завтра! – думал он. – Завтра, может быть, всё будет кончено для меня, всех этих воспоминаний не будет более, все эти воспоминания не будут иметь для меня более никакого смысла. Завтра же, может быть, даже наверное, завтра, я это предчувствую, в первый раз мне придется, наконец, показать всё то, что я могу сделать». И ему представилось сражение, потеря его, сосредоточение боя на одном пункте и замешательство всех начальствующих лиц. И вот та счастливая минута, тот Тулон, которого так долго ждал он, наконец, представляется ему. Он твердо и ясно говорит свое мнение и Кутузову, и Вейротеру, и императорам. Все поражены верностью его соображения, но никто не берется исполнить его, и вот он берет полк, дивизию, выговаривает условие, чтобы уже никто не вмешивался в его распоряжения, и ведет свою дивизию к решительному пункту и один одерживает победу. А смерть и страдания? говорит другой голос. Но князь Андрей не отвечает этому голосу и продолжает свои успехи. Диспозиция следующего сражения делается им одним. Он носит звание дежурного по армии при Кутузове, но делает всё он один. Следующее сражение выиграно им одним. Кутузов сменяется, назначается он… Ну, а потом? говорит опять другой голос, а потом, ежели ты десять раз прежде этого не будешь ранен, убит или обманут; ну, а потом что ж? – «Ну, а потом, – отвечает сам себе князь Андрей, – я не знаю, что будет потом, не хочу и не могу знать: но ежели хочу этого, хочу славы, хочу быть известным людям, хочу быть любимым ими, то ведь я не виноват, что я хочу этого, что одного этого я хочу, для одного этого я живу. Да, для одного этого! Я никогда никому не скажу этого, но, Боже мой! что же мне делать, ежели я ничего не люблю, как только славу, любовь людскую. Смерть, раны, потеря семьи, ничто мне не страшно. И как ни дороги, ни милы мне многие люди – отец, сестра, жена, – самые дорогие мне люди, – но, как ни страшно и неестественно это кажется, я всех их отдам сейчас за минуту славы, торжества над людьми, за любовь к себе людей, которых я не знаю и не буду знать, за любовь вот этих людей», подумал он, прислушиваясь к говору на дворе Кутузова. На дворе Кутузова слышались голоса укладывавшихся денщиков; один голос, вероятно, кучера, дразнившего старого Кутузовского повара, которого знал князь Андрей, и которого звали Титом, говорил: «Тит, а Тит?»
– Ну, – отвечал старик.
– Тит, ступай молотить, – говорил шутник.
– Тьфу, ну те к чорту, – раздавался голос, покрываемый хохотом денщиков и слуг.
«И все таки я люблю и дорожу только торжеством над всеми ими, дорожу этой таинственной силой и славой, которая вот тут надо мной носится в этом тумане!»

Ростов в эту ночь был со взводом во фланкёрской цепи, впереди отряда Багратиона. Гусары его попарно были рассыпаны в цепи; сам он ездил верхом по этой линии цепи, стараясь преодолеть сон, непреодолимо клонивший его. Назади его видно было огромное пространство неясно горевших в тумане костров нашей армии; впереди его была туманная темнота. Сколько ни вглядывался Ростов в эту туманную даль, он ничего не видел: то серелось, то как будто чернелось что то; то мелькали как будто огоньки, там, где должен быть неприятель; то ему думалось, что это только в глазах блестит у него. Глаза его закрывались, и в воображении представлялся то государь, то Денисов, то московские воспоминания, и он опять поспешно открывал глаза и близко перед собой он видел голову и уши лошади, на которой он сидел, иногда черные фигуры гусар, когда он в шести шагах наезжал на них, а вдали всё ту же туманную темноту. «Отчего же? очень может быть, – думал Ростов, – что государь, встретив меня, даст поручение, как и всякому офицеру: скажет: „Поезжай, узнай, что там“. Много рассказывали же, как совершенно случайно он узнал так какого то офицера и приблизил к себе. Что, ежели бы он приблизил меня к себе! О, как бы я охранял его, как бы я говорил ему всю правду, как бы я изобличал его обманщиков», и Ростов, для того чтобы живо представить себе свою любовь и преданность государю, представлял себе врага или обманщика немца, которого он с наслаждением не только убивал, но по щекам бил в глазах государя. Вдруг дальний крик разбудил Ростова. Он вздрогнул и открыл глаза.
«Где я? Да, в цепи: лозунг и пароль – дышло, Ольмюц. Экая досада, что эскадрон наш завтра будет в резервах… – подумал он. – Попрошусь в дело. Это, может быть, единственный случай увидеть государя. Да, теперь недолго до смены. Объеду еще раз и, как вернусь, пойду к генералу и попрошу его». Он поправился на седле и тронул лошадь, чтобы еще раз объехать своих гусар. Ему показалось, что было светлей. В левой стороне виднелся пологий освещенный скат и противоположный, черный бугор, казавшийся крутым, как стена. На бугре этом было белое пятно, которого никак не мог понять Ростов: поляна ли это в лесу, освещенная месяцем, или оставшийся снег, или белые дома? Ему показалось даже, что по этому белому пятну зашевелилось что то. «Должно быть, снег – это пятно; пятно – une tache», думал Ростов. «Вот тебе и не таш…»

Прямоугольная пространственная система декартовых координат

Преобразования пространственных прямоугольных систем координат

Преобразования линейных отображений

Приведение квадратичной формы общего вида к каноническому

Криволинейные координаты

Общие сведения о системах криволинейных координат

Криволинейные координаты на поверхности

Полярные системы координат и их обобщения

Пространственная система полярных координат

Цилиндрическая система координат

Сферическая система координат

Полярные координаты на поверхности

Глава 3. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ В ГЕОДЕЗИИ

Общая классификация систем координат, используемых в геодезии

Земные геодезические системы координат

Системы полярных координат в геодезии

Криволинейные эллипсоидальные системыгеодезических координат

Определение эллипсоидальных геодезических координат при раздельном способе определения планового и высотного положений точек земной поверхности

Преобразование пространственных геодезических полярных координат в эллипсоидальные геодезические координаты

Преобразование референцных систем геодезических координат в общеземные и обратно

Пространственные прямоугольные системы координат

Связь пространственных прямоугольных координат с эллипсоидальными геодезическими координатами

Преобразование пространственных прямоугольных референцных координат в общеземные и обратно

Топоцентрические системы координат в геодезии

Связь пространственной топоцентрической горизонтной геодезической СК с пространственными полярными сферическими координатами

Преобразование топоцентрических горизонтных геодезических координат в пространственные прямоугольные координаты Х, У, Z

Системы плоских прямоугольных координат в геодезии

Связь плоских прямоугольных координат Гаусса – Крюгера с эллипсоидальными геодезическими координатами

Преобразование плоских прямоугольных координат Гаусса – Крюгера из одной зоны в другую

Перевычисление плоских прямоугольных координат пунктов локальных геодезических построений в другие системы плоских прямоугольных координат

Глава 4. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ,ПРИМЕНЯЕМЫЕ В ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ АСТРОНОМИИ И КОСМИЧЕСКОЙ ГЕОДЕЗИИ

Системы координат сферической астрономии

Системы отсчета в космической геодезии

Звездные (небесные) инерциальные геоцентрические экваториальные координаты

Гринвичская земная геоцентрическая система пространственных прямоугольных координат

Топоцентрические системы координат

Глава 5. КООРДИНАТИЗАЦИЯ ОКРУЖАЮЩЕГО ПРОСТРАНСТВА В НАЧАЛЕ ХХI ВЕКА В РОССИИ

Системы государственных геодезических координат в начале ХХI в.

Построение Государственной геодезической сети

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. РЕШЕНИЕ ПРЯМОЙ ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ КООРДИНАТ B, L, H В ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ Х, У, Z

ПРИЛОЖЕНИЕ 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ Х, У, Z В ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ B, L, H

ПРИЛОЖЕНИЕ 5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ Х, У, Z СК-42 В КООРДИНАТЫ СИСТЕМЫ ПЗ-90

ПРИЛОЖЕНИЕ 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РЕФЕРЕНЦНОЙ СИСТЕМЫ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ КООРДИНАТ B, L, H В СИСТЕМУ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ КООРДИНАТ ПЗ-90 B0, L0, H0

ПРИЛОЖЕНИЕ 7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТ СИСТЕМЫ S, ZГ, A В ТОПОЦЕНТРИЧЕСКИЕ ГОРИЗОНТНЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ ХТ, УТ, ZТ

ПРИЛОЖЕНИЕ 8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТОПОЦЕНТРИЧЕСКИХ ГОРИЗОНТНЫХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ КООРДИНАТ ХТ, УТ, ZТ В ПОЛЯРНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КООРДИНАТЫ – S, ZГ, A

ПРИЛОЖЕНИЕ 9. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТОПОЦЕНТРИЧЕСКИХ ГОРИЗОНТНЫХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ КООРДИНАТ ХТ, УТ, ZТ В ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ X, У, Z

ПРИЛОЖЕНИЕ 10. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫХ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ КООРДИНАТ B, L В ПЛОСКИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ ГАУССА – КРЮГЕРА Х, У

ПРИЛОЖЕНИЕ 11. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПЛОСКИX ПРЯМОУГОЛЬНЫX КООРДИНАТ ГАУССА – КРЮГЕРА X, Y В ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ B, L

(a 11 − λ1 )(a 22 − λ1 ) − a 12 a 21 = 0 ;

λ 12 - (a 11 + a 22 )λ 1 + (a 11a 22 - a 12 a 21 ) = 0 .

Дискриминант этих квадратных уравнений ³ 0, т. е.

Д = (а 11 + a 22 ) 2 - 4 (a 11a 22 - a 12 a 21 ) = (a 11 - a 22 ) 2 + 4a 122 ³ 0 .

Уравнения (2.56), (2.57) называются характеристическими уравнениями

матрицы, а корни этих уравнений – собственными числами матрицы А. Найденные из (2.57) собственные числа подставляем в (2.39), получим

каноническое уравнение.

Дана квадратичная форма в виде: F (x x ) = 5x 2				2x 2 .

Найти канонический вид этого уравнения.

Так как здесь а 11 = 5; а 21 = 2; а 22 = 2, тогда характеристическое уравнение (2.56) для данной квадратичной формы будет иметь вид

5 - λ 2

2 2 - λ 1

Приравнивая определитель этого матричного уравнения к нулю

(5 – λ)(2 – λ) – 4 = λ2 – 7λ + 6 = 0

и решая это квадратное уравнение, получаем λ1 = 6; λ2 = 1.

И тогда канонический вид данной квадратичной формы будет иметь вид

F (x 1 , x 2 ) = 6 x 1 2 + x 2 2 .

2.3. Криволинейные координаты

2.3.1. Общие сведения о системах криволинейных координат

Класс криволинейных координат, по сравнению с классом прямолинейных координат, обширен и значительно более разнообразен и, с аналитической точки зрения, является наиболее универсальным, так как расширяет возможности метода прямолинейных координат. Применение криволинейных координат иногда в значительной степени может упрощать решение многих задач, особенно задач, решаемых непосредственно на поверхности вращения. Так например, при решении какой-либо задачи на поверхности вращения, связанной с отысканием некоторой функции, можно в области задания этой функции на данной поверхности подобрать такую систему криволинейных координат, которая позволит наделить данную функцию новым свойством – быть постоянной в данной системе координат, что не всегда можно сделать с использованием прямолинейных систем координат.

Система криволинейных координат, заданная в некоторой области трехмерного евклидового пространства, ставит в соответствие каждой точке этого пространства упорядоченную тройку действительных чисел – φ, λ, r (криволинейные координаты точки).

Если же система криволинейных координат располагается непосредственно на какой-то поверхности (поверхности вращения), то в этом случае, в соответствие каждой точке поверхности ставятся уже два действительных числа – φ, λ, которые однозначно определяют положение точки на этой поверхности.

Между системой криволинейных координат φ, λ, r и прямолинейной декартовой СК (Х, У, Z) должна существовать математическая связь. Действительно, пусть система криволинейных координат задана в некоторой области пространства. Каждой точке этого пространства соответствует единственная тройка криволинейных координат – φ, λ, r. С другой стороны, этой же точке соответствует и единственная тройка прямолинейных декартовых координат – Х, У, Z. Тогда можно утверждать, что в общем виде

ϕ = ϕ (Х ,У , Z );

λ = λ (,); (2.58)

Х У Z

r = r (Х, У, Z ).

Существует как прямая (2.58), так и обратная математическая связь между этими СК.

Из анализа формул (2.58) следует, что при постоянном значении одной из пространственных криволинейных координат φ, λ, r , например,

ϕ =ϕ(Х ,У ,Z )= const,

и переменных значениях двух других (λ, r ), мы получаем в общем поверхность, которую называют координатной. Координатные поверхности, соответствующие одной и той же координате, не пересекаются между собой. Однако две координатные поверхности, соответствующие различным координатам, пересекаются и дают координатную линию, соответствующую третьей координате.

2.3.2. Криволинейные координаты на поверхности

Для геодезии наибольший интерес представляют поверхностные криволинейные координаты.

Пусть уравнение поверхности в виде функции декартовых координат в

неявной форме имеет вид
F (Х, У, Z) = 0.

Направив вдоль осей координат единичные векторы i , j , l (рис. 2.11), уравнение поверхности можно написать в векторной форме

r = Х i + У j + Z l . (2.60)

Введем две новые независимые переменные φ и λ, такие что функции

удовлетворяют уравнению (2.59). Равенства (2.61) представляют собой параметрические уравнения поверхности.

λ1 =const

					λ2 =const
					λ3 =const
					φ3 =const
					φ2 =const
					φ1 =const

Рис. 2.11. Система криволинейных координат поверхности

Каждой паре чисел φ и λ соответствует определенная (единственная) точка на поверхности, и эти переменные могут быть приняты в качестве координат точек поверхности.

Если давать φ различные постоянные значения φ = φ1 , φ = φ2 , …, то мы получим семейство кривых на поверхности, соответствующих этим постоянным. Аналогично, давая постоянные значения для λ, мы будем иметь

второе семейство кривых. Таким образом, на поверхности образуется сеть координатных линий φ = const и λ = const. Координатные линии в общем случае

представляют собой кривые линии. Поэтому числа φ, λ называются

криволинейными координатами точек на поверхности.

Криволинейными координатами могут быть как линейные, так и угловые величины. Простейшим примером системы криволинейных координат, в которых одна координата – линейная величина, а другая – угловая величина, могут служить полярные координаты на плоскости.

Выбор криволинейных координат не обязательно должен предшествовать образованию координатных линий. В некоторых случаях целесообразнее установить сеть координатных линий, наиболее удобную для решения тех или иных задач на поверхности, а затем уже подобрать для этих линий такие параметры (координаты), которые имели бы постоянное значение для каждой координатной линии.

Определенной системе параметров соответствует и вполне определенная сеть координатных линий, но для каждого заданного семейства координатных линий можно подобрать множество других параметров, представляющих собой непрерывные и однозначные функции данного параметра. В общем случае углы между координатными линиями семейства φ = const и линиями семейства λ = const могут иметь различную величину.

Мы будем рассматривать только ортогональные системы криволинейных координат, у которых каждая координатная линия φ = const пересекает любую другую координатную линию λ= const под прямым углом.

При решении многих задач на поверхности, особенно задач, связанных с вычислением криволинейных координат точек поверхности, необходимо располагать дифференциальными уравнениями изменения криволинейных координат φ и λ в зависимости от изменения длины S поверхностной кривой.

Связь между дифференциалами dS , dφ, dλ можно установить, если ввести новую переменную α, т. е. угол

α dS

φ = const

λ = const

λ+d λ = const

положительного направления линии λ = const до положительного

направления данной кривой (рис. 2.12). Этим углом как бы устанавливается направление (ориентировка) линии в

данной точке поверхности. Тогда (без вывода) :

Рис. 2.12. Геометрия связи дифференциала дуги кривой на поверхности с изменениями (дифференциалами) криволинейных

координат

					∂X		2 ∂ У 2
E = (rϕ )
						∂ϕ		∂ϕ
G = (						∂X		∂ У 2
						∂λ		∂λ

+ ∂ Z 2 ;

∂ϕ

+ ∂ Z 2 . ∂λ

		cosα
		sinα

В геодезии углу α соответствует геодезический азимут: α = А.

2.3.3. Полярные системы координат и их обобщения

2.3.4. Пространственная система полярных координат

Для задания пространственной системы полярных координат необходимо вначале выбрать плоскость (в дальнейшем будем называть ее основной). На этой плоскости выбирается некоторая точка О

измерений

отрезков

пространстве, тогда

положение

любой точки пространства будет

однозначно

определяться

величинами: r, φ, λ, где r –

полярный

расстояние по прямой от полюса

О до точки Q (рис. 2.13); λ –

полярный угол – угол между

полярной

Рис. 2.13. Пространственная система

ортогональной

проекцией

полярного радиуса на основную

полярных координат и ее модификации

плоскость

изменения

(полярным радиусом) и его

0 ≤ λ < 2π); φ – угол между

вектором

проекцией

OQ0 на

основную

плоскость, считаемый положительным (0 ≤ φ ≤ π/2) для точек положительного полупространства и отрицательным (-π/2 ≤ φ ≤ 0) для точек отрицательного полупространства.

Любую пространственную полярную СК легко можно связать (преобразовать) с пространственной декартовой прямоугольной СК.

Если за масштаб и начало координат в пространственной прямоугольной системе принять масштаб и начало полярной системы, полярную ось ОР – за полуось абсцисс OX , линию OZ, проведенную из полюса О перпендикулярно основной плоскости в положительном направлении полярной системы – за полуось OZ прямоугольной декартовой системы, а за полуось – ОУ принять ту ось, в которую перейдет ось абсцисс при повороте ее на угол π/2 в положительном направлении в основной плоскости полярной системы, то тогда из рис. 2.13

Формулы (2.64) позволяют выразить X, У, Z через r, φ, λ и обратно